例说圆锥曲线中证明求直线过定点的问题.doc

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对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨
漆绍杰

在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢它们的共同的解题思路是怎样的呢下面让我们一起来探讨一下。
既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点的直线系方程可以写成的，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。
例1：已知抛物线上有两动点及一个定点，为抛物线的焦点，且∣∣，∣∣，∣∣成等差数列。（1）求证线段的垂直平分线经过一定点；（2）若∣∣，∣∣（为坐标原点），求此抛物线的方程。
分析：（1）设，∵∣∣，∣∣，∣∣成等差数列，结合定义得，由此可设弦的中点坐标为。，弦的中垂线方程为：
，故弦的中垂线过定点。（2）略。
例2：在双曲线的一支上有不同的三点与焦点的距离成等差数列。（1）求的值。（2）证明线段的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。
分析：（1）∵∣∣，∣∣，∣∣成等差数列，则结合定义得
，
（2）由此，可设弦的中点坐标为
由
弦的中垂线方程为：

故弦的中垂线过定点。
例3：过抛物线上的定点作两条互相垂直的弦、，求证直线过定点。
分析：设，则
因为点、与点不重合，所以故
，直线的方程为：

所以直线过定点。
评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。
例4：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。
分析：（1）设，则
又由
（2）
直线的方程为
，故直线过定点。
评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。
例5：设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。
分析：设，则，直线的方程为

要证直线经过原点，只需证

评析：此处不是由方程直接看出直线经过原点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接证带来的困难。
例6：已知椭圆的离心率为且在轴上的顶点分别为。（1）求椭圆的方程；（2）若直线（为大于2的一个定值）与轴交于点，为上的异于的任意一点，直线分别与椭圆交于两点，证明直线经过一个定点。
分析：（1）故椭圆的方程为
（2）设，直线的斜率为，则直线的方程为
由消去得判别式，解得
，所以点的坐标为①，
同理可设直线的斜率为，则直线的方程为，所以点的坐标为②，
由于直线与直线的交点在直线上，又所以③
由两点式得直线的方程为，令得④
将①②③代入④得，故直线经过定点。
评析：此题的计算量相当大，在解题思路上它和前几题的解法既有相同的地方又有区别，属于难题。
通过对上面几个同一类型问题的解题方法的探讨，我们可以得出解决这一问题的一般性结论：利用题中所给条件，写出直线的点斜式方程，若不能看出定点，则再利用其它条件对方程进行变形，直到看出定点或转证相关问题。