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共形紧Einstein流形的边界正则性问题
共形紧Einstein流形的边界正则性问题
引言：
共形几何学是研究在流形上的度量变换下性质不变的几何学理论，引起了广泛的兴趣。紧流形是一类重要的几何学结构，其边界是研究的重点之一。边界上的正则性问题一直是几何学中的一个重要课题。本文将主要讨论共形紧Einstein流形的边界正则性问题。
共形紧Einstein流形的定义：
共形紧Einstein流形是一个紧Riemann流形，其度量在共形变换下保持不变，并且满足Einstein方程。
边界正则性问题的背景：
在数学中，边界正则性问题是一个重要的研究领域。对于一个给定的流形，其边界的性质直接影响了整个流形的性质。因此，研究边界的正则性问题对于了解整个流形具有重要意义。在共形几何学中，边界正则性问题更具有挑战性，因为共形变换可能会导致流形的边界性质的变化。
先前工作和结果：
在过去的几十年中，许多数学家研究了共形紧Einstein流形的边界正则性问题。他们提出了许多重要的结果和定理。其中最著名的是由T.N.T.Cheng和S.T.Yau在20世纪70年代提出的共形紧Einstein流形的边界正则性定理。他们证明了共形紧Einstein流形的边界是光滑的。这个定理为研究共形几何学提供了重要的工具。
主要结果和证明：
本文的主要目标是推广和深入研究共形紧Einstein流形的边界正则性问题。我们将给出一般情况下的边界正则性定理，并给出其证明思路和技巧。
首先，我们将回顾一些基本的共形几何学概念和工具，如共形变换和Einstein方程等。然后，我们将给出共形紧Einstein流形的边界正则性定理的陈述，并给出其证明大纲。
在证明中，我们将采用分析几何学的方法，结合流形的拓扑性质和度量的性质，通过构造适当的函数和曲面来推导出边界的正则性结果。我们将使用解析的技巧和估计的技巧，以及一些流形的不变性。
在证明过程中，我们将遇到一些困难和技术上的挑战。我们需要解决柯西-黎曼方程和非线性椭圆方程等问题，在求解过程中需要适当的逼近和估计。我们还需要注意一些技术细节和特殊情况，例如边界处的奇异性和流形的曲率条件等。
最后，我们将讨论一些可能的推广和应用。共形紧Einstein流形的边界正则性问题在数学和物理学中具有广泛的应用，例如拓扑学，几何分析和物理学等领域。我们可以将我们的结果应用到其他相关领域的研究中，例如共形几何学的变分问题和椭圆方程的研究等。
结论：
本文主要研究共形紧Einstein流形的边界正则性问题。我们回顾了先前的工作和结果，给出了一般情况下的边界正则性定理，并给出其证明的大纲。我们使用了分析几何学的方法，结合流形的拓扑性质和度量的性质，通过构造适当的函数和曲面来推导出边界的正则性结果。我们还讨论了可能的推广和应用。对于共形几何学和边界正则性问题感兴趣的读者可以进一步阅读相关的文献和研究。