天津市南开区2020届高三上学期期末考试数学试题.docx

天津市南开区2019~2020学年度高三年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，2}，T＝{2，3}，则（∁S）∩T等于（
）
U
A．{2}
B．{3}
C．{4}
D．{2，3，4}
2．命题“∃x∈（0，+∞），lnx＝x﹣1”的否定是（
）
0
0
0
A．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
B．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1
C．∃x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
0
0
0
D．∃x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1
0
0
0
3．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（
A．y＝x3B．y＝﹣lgx2C．y＝2x
）
D．y
4．已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，则“d＞0”是“S+S＞2S”的（
）
n
n
3
5
4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．设a＝1﹣2，b＝1og，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（
）
0.2
3
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
6．过点A（﹣1，0），斜率为k的直线，被圆（x﹣1）+y＝4截得的弦长为2，则k的值为
2
2
（
）
A．±
B．
C．±
D．
7．函数y＝sincos（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（
A．﹣1B．﹣1C．0
）
D．2
8．已知点A（2，0），抛物线C：x＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其
2
准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（
A．2：B．1：2
9．四边形ABCD中，BC＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，则的取值范围是（
A．[﹣1，3]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣3，1]D．
）
C．1：
D．1：3
）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
1

10．复数的共轭复数是
11．曲线y在点（1，1）处的切线方程为
12．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该
棱锥的体积为4，AB＝2，则此球的表面积等于
13．设双曲线C经过点（2，2），且与x＝1具有相同渐近线，则C的方程为
．
．
．
；渐近
2
线方程为
14．已知正数x，y满足3，则当x
15．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b，设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），若函数g（x）
＝f（x）﹣mx（m∈R）恰有三个零点x，x，x，则m的取值范围是；xxx的
．
时，x+y的最小值是
．
2
1
2
3
123
取值范围是
．
三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，△ABC的面积
为2．
（Ⅰ）求a及sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A）的值．
17．如图，已知直三棱柱ABC﹣ABC的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AA＝AB＝2BC＝
1
1
1
1
2，3．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ABD；
1
1
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣A的余弦值；
1
（Ⅲ）求点B到平面ABD的距离．
1
1
18．（15分）已知椭圆C的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+20
的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与直线y＝kx+m相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．
（i）当k＞0，m≠0时，射线OE交直线x＝﹣3于点D（﹣3，n）（O为坐标原点），求
2

k+n的最小值；
2
2
（i）当k≠0，且|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
19．已知数列{a}是等比数列，数列{b}是等差数列，且a＝3，b＝a，b＝a+3，b＝a．
n
n
1
2
2
5
3
8
4
（Ⅰ）求数列{a}的通项公式a；
n
n
（Ⅱ）令c＝log，证明：1（n∈N*，n≥2）；
n
2
（Ⅲ）求（n∈N*）．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
2
（Ⅲ）当a＝1时，设g（x）＝xe﹣f（x）﹣x﹣1（e为自然对数的底）．若正实数λ，λ
1
2
满足λ+λ＝1，x，x∈（0，+∞）（x≠x），证明：g（λx+λx）＜λg（x）+λ
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
g（x）．
2
2
3

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
2．A
3．A
4．C
5．A
6．A
7．D
8．C
9．C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
10．﹣i．