天津市红桥区 高二数学上学期期中试题 理(扫描版) 试题.doc

天津市红桥区2016-2017学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）

高二数学（理）（2016、11）
选择题

题号12345678答案CBCCBDCA填空题
9．若一个四边形不是平行四边形(，则这个四边形两组对边不相等
(10)1 (11)m或m∥ (12)eq\f(1,2) (13)(5,13，－3)
解答题
14（本小题满分12分）
如图：棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，
（I）过作一平面，使其与平面平行（只写作法，不需证明）;
（II）求直线与平面所成角的正弦值.
解：(I)连结AC、MC，平面AMC是所求平面--------------------------3分
C
D
D1
C1
A
B
A1
B1
M
N
E
O
x
y
z
(II)如图空间执教坐标系Oxyz
则A(0,0,0)，M(eq\f(1,2)a,0,a)，B(a,0,0)，D(0,a,0)，N(0,eq\f(1,2)a,a)
------------------------5分（不全对，但对2个以上给1分）
eq\o(BM,\s\up7(→))=(eq\f(1,2)a,0,a)，eq\o(BD,\s\up7(→))=(a,a,0)，eq\o(AM,\s\up7(→))=(eq\f(1,2)a,0,a)
-------7分（不全对，但对2个给1分）
设平面得法向量n=(x,y,z)
则eq\b\lc\{(\a\al(eq\o(BM,\s\up7(→))·n=0,eq\o(BD,\s\up7(→))·n=0))n=(2,2,1)-------------------------9分
cos<eq\o(AM,\s\up7(→)),n>=eq\f(eq\o(AM,\s\up7(→))·n,|eq\o(AM,\s\up7(→))||n|)=eq\f(4\r(5),15)-----------------11分
设直线与平面所成角为
则，sin=|cos<eq\o(AM,\s\up7(→)),n>|=eq\f(4\r(5),15)
直线与平面所成角的正弦值为eq\f(4\r(5),15)-----------------12分

15（本小题满分12分）
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝eq\r(2)，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．
（I）证明：DE⊥平面A1AE；
（II）证明：BM∥平面A1ED.
证明：方法一：
（I）在△AED中，AE＝DE＝eq\r(2)，AD＝2，
∴AE⊥DE.-------------------------2分
∵A1A⊥平面ABCD，
∴A1A⊥DE，--------------------3分
,平面A1AE.
,平面A1AE.
∴DE⊥平面A1AE.-------------6分

（II）设AD的中点为N，连结MN、BN.
在△A1AD中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1D，------------8分
∵BE∥ND且BE＝ND，
∴四边形BEDN是平行四边形，
∴BN∥ED，------------------------------------------------------------10分
∴平面BMN∥平面A1ED，
∴BM∥平面A1ED.-----------------------------------------------------12分
方法二：建系如图所示
（I）A(0，0，0),B(1，0，0),C(1，2，0),D(0，2，0)
A1(0,0,),B1(1,0,),C1(1,2,),D1(0,2,)
E(1,1,0),-
,，------------------2分
设平面A1AE的法向量为
则即则一个------4分
故
所以DE⊥平面A1AE.-------------6分
（II）,-----------------8分
设平面A1ED的法向量为
则即则一个----10分
0
故BM∥平面A1ED.-----------------------12分

16（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证：平面面；
（2）求二面角的正弦值。
解：取BC中点O，连AO，∵为正三角形，
∴，
∵在正三棱柱中，平面ABC平面,∴平面，
取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,
∵,。
∴，,∴面。…………5分
面
所以平面面------------------------------6分
（2