3热传导方程的初边值问题.doc

3热传导方程的初边值问题
3热传导方程的初边值问题

3热传导方程的初边值问题
例4周期初始温度分布
求解热传导方程，给定初始温度分布
。
解。
初始高斯温度分布
例5求解定解问题，
其中常数。
解

.

§3初边值问题

设长度为，侧表面绝热的均匀细杆，初始温度与细杆两端的温度已知，则杆上的温度分布满足以下初边值问题

对于这样的问题,可以用分离变量法来求解。
将边值齐次化
令
再作变换

引入新的未知函数,易知它满足

我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形

解设代入方程

这等式只有在两边均等于常数时才成立。
令此常数为,则有
（3。4)
（3.5）
先考虑（3。5）,根据边界条件(3.3)，应当满足边界条件
（3。6）
情形A:
当时，方程(3.5）的通解可以写成

要使它满足边界条件(3.6），就必须

由于
只能故在的情况得不到非平凡解.
情形B：
当时,方程（3.5)的通解可以写成

要满足边界条件(3.6），即。
也只能恒等于零。
情形C:
当时，方程（3.5）的通解具有如下形式：

由边界条件知再由可知，为了使就必须
于是

(3。7）
这样就找到了一族非零解
（3.8）
称为常微分方程边值问题

的固有函数（特征函数).
而称为相应的固有值(或特征值）.将固有值代入方程（3.4）中,

可得（3。9)
于是得到一列可分离变量的特解
（3。10）
由于方程（3。1）及边界条件（3。3)都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解
（3.11）
其中。
由(3.2），为使在时,取到初值，应成立
（3。12)
得出。（3。13）
得到问题（3。1）－（3.3）的解

其中,.
定理若则
（3.14）
是
的古典解(经典解）。
证明由得在上可积.

对任意当时,成立
(任意整数）
又对任意而级数收敛,
所以在上一致收敛.
于是,
即级数，当时,关于及具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换。
由于级数的每一项都满足方程及边界条件，从而函数在时，确实满足方程及边界条件。再由的任意性,得在时满足方程及边界条件,
且
再证
由条件

由Bessel不等式,知，
从而得到在上一致收敛，在上一致收敛于,
从而得在上连续.
于是。

3.1初边值问题解的渐近性态
定理假设初始函数满足则当
趋于无穷大时,问题（3.1)－（3。3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当时，对一切，

其中是一个与解无的正常数.
证明古典解是唯一的,
是唯一的古典解,其中
在上有界，设,则有
当时

。
3.2非齐次方程求解方法-齐次化原理
考虑非齐次方程
.
齐次化原理：若是下述问题
（＊）
的解(其中为参数）,则

是非齐次问题的解。
证明显然,
则满足。是非齐次问题的解.
现在来求问题（＊)的解。
作变换则问题（*）化为
（*＊）
我们已知问题(**）的解为

其中，.
于是
故
是非齐次问题的解.
初边值问题的解为

其中，,。
3。3非齐次初边值问题的特征函数展开法
（3。15)
方法步骤把,方程的非齐次项和初值都按照特征函数系展开：

由特征函数系在区间上的正交性,可得
,
。
而函数暂时还是未知的.为确定,把上述展开式问题（3。15）代入方程和初始条件,由特征函数系的完备性，从而得到适合下列微分方程和初始条件。

于是得到

从0到积分

故非齐次初边值问题解的表达式为

这与前面的结果一致.
能量衰减估计

用乘以方程两端，在上积分

,

,
,
，

于是
，,
.

定理（Cauchy—Schwarz不等式）
设在上可积，则有。
证明证法一对区间的任意分割：，
任取，，，记，;
由于成立，
在上式中，令取极限，则得到
；

证法二考虑二次函数

，；
如果，在上式中取，
得到,
从而，
于是成立；

如果，则对,成立，
必有，此时自然成立,。

定理（Minkowski不等式)
设在上可积，则有。
证明因为

，
若，则不等式自然成立;
若，则消去公因子，
所以
用Cauchy—Schwarz不等式证明
若f（x）在［a，b］上可积，则;
若f（x)在[a,b]上可积，且，
则在[a,b]上可积；且.
定理1设函数，且,
则有。
证明由,
得，
，
于是，故结果得证。