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离散因变量和受限因变量模型演示文稿2§7.1二元选择模型
在离散选择模型中，最简单的情形是在两个可供选择的方案中选择其一，此时被解释变量只取两个值，称为二元选择模型（binarychoicemodel）。在实际生活中，我们经常遇到二元选择问题。例如，在买车与不买车的选择中，买车记为1，不买记为0。是否买车与两类因素有关系：一类是车本身所具有的属性，如价格、型号等；另一类是决策者所具有的属性如收入水平、对车的偏好程度等。如果我们要研究是否买车与收入之间的关系，即研究具有某一收入水平的个体买车的可能性。因此，二元选择模型的目的是研究具有给定特征的个体作某种而不作另一种选择的概率。为了深刻地理解二元选择模型，首先从最简单的线性概率模型开始讨论。线性概率模型的回归形式为：
（）
其中：N是样本容量；k是解释变量个数；xj为第j个个体特征的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽车的价格；x3表示消费者的偏好等。设yi表示取值为0和1的离散型随机变量：

式（）中ui为相互独立且均值为0的随机扰动项。令pi=P(yi=1)，那么1-pi=P(yi=0)，于是
（）
又因为E(ui)=0，所以E(yi)=xi，xi=(x1i,x2i,…,xki),=(1,2,…,k)，从而有下面的等式：
（）
式(7.1.3)只有当xi的取值在(0,1)之间时才成立，否则就会产生矛盾，而在实际应用时很可能超出这个范围。因此，线性概率模型常常写成下面的形式：
(7.1.4)
此时就可以把因变量看成是一个概率。
那么扰动项的方差为：
(7.1.5)
或
(7.1.6)由此可以看出，误差项具有异方差性。异方差性使得参数估计不再是有效的，修正异方差的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加权最小二乘法无法保证预测值ŷ在(0,1)之内，这是线性概率模型一个严重的弱点。由于上述问题，我们考虑对线性概率模型进行一些变换，由此得到下面要讨论的模型。
假设有一个未被观察到的潜在变量yi*，它与xi之间具有线性关系，即
(7.1.7)
其中：ui*是扰动项。yi和yi*的关系如下：
(7.1.8)yi*大于临界值0时，yi=1；小于等于0时，yi=0。这里把临界值选为0，但事实上只要xi包含有常数项，临界值的选择就是无关的，所以不妨设为0。这样
(7.1.9)
其中：F是ui*的分布函数，要求它是一个连续函数，并且是单调递增的。因此，原始的回归模型可以看成如下的一个回归模型：
(7.1.10)
即yi关于它的条件均值的一个回归。分布函数的类型决定了二元选择模型的类型，根据分布函数F的不同，二元选择模型可以有不同的类型，常用的二元选择模型如表7.1所示：
表7.1常用的二元选择模型二元选择模型一般采用极大似然估计。似然函数为
(7.1.11)
即
(7.1.12)
对数似然函数为
(7.1.13)对数似然函数的一阶条件为
(7.1.14)
其中：fi表示概率密度函数。那么如果已知分布函数和密度函数的表达式及样本值，求解该方程组，就可以得到参数的极大似然估计量。例如，将上述3种分布函数和密度函数代入式(7.1.14)就可以得到3种模型的参数极大似然估计。但是式(7.1.14)通常是非线性的，需用迭代法进行求解。
二元选择模型中估计的系数不能被解释成对因变量的边际影响，只能从符号上判断。如果为正，表明解释变量越大，因变量取1的概率越大；反之，如果系数为负，表明相应的概率将越小。例7.1二元选择模型实例
考虑Greene给出的斯佩克特和马泽欧（1980）的例子，在例子中分析了某种教学方法对成绩的有效性。因变量（GRADE）代表在接受新教学方法后成绩是否改善，如果改善为1，未改善为0。解释变量（PSI）代表是否接受新教学方法，如果接受为1，不接受为0。还有对新教学方法量度的其他解释变量：平均分数（GPA）和测验得分（TUCE），来分析新的教学方法的效果。（1）模型的估计
估计二元选择模型，从EquationSpecification对话框中，选择Binary估计方法。在二元模型的设定中分为两部分。首先，在EquationSpecification区域中，键入二元因变量的名字，随后键入一列回归项。由于二元变量估计只支持列表形式的设定，所以不能输入公式。然后，在Binaryestimationmethod中选择Probit，Logit，Extremevalue选择三种估计方法的一种。以例7.1为例，对话框如图7.2所示。图7.2二元选择模型估计对话框例7.1的估计输出结果如下：参数估计结果的上半部分包含与一般的回归结果类似的基本信息，标题包含关于估计方法（ML表示极大似然估计）和估计中所使用的样本的基本信息，也包括达到收敛要求的迭代次数。和计算系数协方差矩阵所使用方法的信息