【数学】上海市青浦区2021届高三上学期期终学业质量调研测试(一模)试卷.docx

上海市青浦区2021届高三上学期期终学业质量调研测试（一模）数学试卷
1.已知集合，QUOTE，QUOTE则.
2.函数的反函数是.
3.行列式中，元素3的代数余子式的值为.
4.已知复数满足，则.
5.圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面展开图扇形的圆心角.
6.已知等差数列的首项，公差，其前项和为，则.
7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的近似值，己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为.
8.在二项式（）的展开式中的系数与常数项相等，则的值是.
9.点是椭圆与双曲线的一个交点，点、是椭圆的两个焦点，则的值为.
10.盒子中装有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）
11.记为数列在区间（）中的项的个数，则数列的前100项的和
12.已知向量的模长为1，平面向量、满足：，，则的取值范围是
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
其中正确的是（）
A.①②B.①④C.②③D.③④
15.已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为（）
A.B.C.D.
16.设函数，其中、是实数集的两个非空子集，又规定
，，则下列说法：
（1）一定有；（2）若，则；
（3）一定有；（4）若，则；
其中正确的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，长方体中，，，点为的中点.
（1）求证：直线∥平面；
（2）求异面直线与所成角的大小.
18.设函数，为常数.
（1）若为偶函数，求的值；（2）设，，为减函数，求实数的取值范围.
19.如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观，在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方，经测量得知：米，米，米，，记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米.
（1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求的最小值.
20.已知动点到直线的距离比到点的距离大1.
（1）求动点所在的曲线的方程；
（2）已知点，、是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）已知点，、是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，
证明：直线过定点.
21.若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系.
（1）设无穷数列和均是等差数列，且，（），问：数列与是否具有关系？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为（）的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为（）的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件.