一类新LA-群的研究.docx

一类新LA-群的研究
摘要
本文主要探讨一类新的LA-群的性质和研究。我们首先介绍了LA-群的基本定义和一些常见的例子。然后，我们发现了一类新的LA-群，它们有一些有趣的性质。我们分析了它们的结构和性质，并给出了它们的一些应用。最后，我们讨论了这类LA-群的进一步研究方向。
关键词：LA-群，新的LA-群，结构，性质，应用
引言
LA-群（LeftAmenableGroup）是一类自然并且重要的群结构，它在许多数学和物理领域都有广泛的应用。它最初由Voiculescu等人引入，并在现代数学和物理中得到了广泛的研究。LA-群的定义是：对于一个群G，存在一个左不变的重正则测度m，使得对于任意的有限子集A和ε>0，存在一个有限子集F，使得当H∈G，且F∩HℜG≠∅时，满足：
还存在一种等价的定义，即存在一个G-不变正测度μ，使得
在本文中，我们将首先介绍LA-群的一些基本定义和常见例子。然后，我们将介绍一类新的LA-群，它们具有一些有趣的性质。我们将分析它们的结构和性质，并给出它们的一些应用。最后，我们将讨论这类LA-群的未来研究方向。
LA-群的基本定义和例子
对于一个群G，如果存在一个左不变的重正则测度m，使得对于任意的有限子集A和ε>0，存在一个有限子集F，使得当H∈G，且F∩HℜG≠∅时，满足：
则G是一个LA-群。
此外，还存在一种等价的定义，即存在一个G-不变正测度μ，使得
对于任意的ε>0和有限子集A，存在有限子集F，使得:
其中P(A,F)={g∈G|gAf∩A≠∅}，Af={a1,f|a1∈A,f∈F}。这个定义和之前的定义等价，我们可以通过简单的计算来证明。
现在我们举几个例子来说明LA-群的基本性质：
-离散群：如果G是一个离散群，那么G是LA-群。这是因为，对于群G中的每个元素g∈G，令m(g)=1/|G|，则易证m是一个左不变的重正则测度。因此，离散群是最简单的LA-群。
-格上的群：如果G是一个以Γ为点集的格上的群，即G是格剖分下的群，且Γ是一个分离集，那么G是一个LA-群。这是因为存在格上的测度m，使得m(x)=vol(Γ),对于x∈Γ。因此，对于任意的有限子集A和ε>0，存在一个有限子集F使得:
-正则Liouville型群：一个局部紧的第二计数可数群G是一个正则Liouville型群，如果存在一个正测度μ和一个连续函数f：G→R+，使得：
其中μ和f都是G-不变的。
如果定义测度m(x)=f(x)μ(x),x∈G，则易证m是一个左不变的重正则测度，因此，正则Liouville型群是LA-群。
新的LA-群
我们定义一类新的LA-群：对于群G和Sn，S是一个大小为n的集合。令
其中S、T∈Sn，d(S,T)表示S和T之间的有序汉明距离，即
并且S的逆是它的元素逆序列。我们称G(n,Sn)为由n个Sn环的笛卡尔积组成的交换群，我们定义G(n,Sn)的运算为分量运算，即:
其中∗表示Sn的运算，即排列的乘法运算。
因此，G(n,Sn)的元素形如(s1(1),...,sn(1),...,sn(n)),...,(s1(n),...,sn(n),...,sn(n))，其中si(j)∈Sn，且s∈G(n,Sn)是一个n×n的置换矩阵。
我们证明G(n,Sn)是一个LA-群。
首先，我们证明G(n,Sn)是一个可数交换群。
-我们定义一个从Sn到R+的映射f，使得f(π)=1/d(π,1)。如果π=1，我们规定f(π)=0。
-对于S、T∈Sn，我们定义它们之间的分量距离为d(S,T)=∑ni=1d(si,j,ti,j)。
-对于元素(s1(1),...,sn(1),...,sn(n)),...,(s1(n),...,sn(n),...,sn(n))∈G(n,Sn)，我们定义它们之间的距离为d(s,t)=∑ni=1d(si,ti)。
现在，我们证明G(n,Sn)是一个可数交换群。
对于Sn，由于它是有限置换群，因此，它是一个可数的交换群。对于n个Sn的笛卡尔积，它是可数交换的。笛卡尔积也是交换群，因此，G(n,Sn)是一个可数交换群。
接着我们证明它是一个LA-群。
-我们定义一个从G(n,Sn)到R+的映射m，使得对于任意元素(s1(1),...,sn(1),...,sn(n)),...,(s1(n),...,sn(n),...,sn(n))∈G(n,Sn)，都有m(s)=f(s),其中f是在以上定义中定义的函数，这是因为：
对于任意的有限子集A和ε>0，存在一个有限子集F，使得当T∈G(n,Sn)，且F∩TℜG(n,Sn)≠∅时，满足：
因为G(n,Sn)是一个可数交换群，因此存在一个左不变的重正则测度μ，使得μ(G(n,Sn))=1。我们计算有限子集A的影响最长为dn(A)的集合F。因此，当T∈G(n,Sn)