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给定阶子群的弱M--可补性对群构造的影响
引言
研究群结构和性质是现代代数的重要研究领域，其中关键的概念之一是子群。子群可以理解为原群中一部分元素所组成的群。子群的研究有着广泛的应用，从数论到几何，从物理学到计算机科学。其中子群的一个重要性质是其阶，即子群中包含的元素个数。
由于群理论的复杂性，一般从子群的结构入手来研究群的性质。既然子群是群的一部分，那么阶为n的子群需要包含若干个元素来满足阶的要求。众所周知，将一个群划分为若干子群是群的一个重要性质，那么问题就来了：如何划分呢？在此基础上，M-可补性便应运而生。但这仅仅是一个最基础的概念，下面我们将详细阐述M-可补性在子群划分中的重要性和影响。
正文
M-可补性，即如果群G中的子群H和K满足H∩K=1和H⋊M=K⋊M，则称H和K关于M是M-可补的。其中，⋊表示半直积的符号。熟悉群理论的读者们对半直积的概念应该不陌生，半直积是把一个普通的群与一个所谓的作用群“混合”在一起形成的一个新的群。在这个新群中，除了普通群中原来的群元外，还有新增的作用元所组成的元素。通过这种方式，可以得到更多的群结构。M-可补是在此基础上衍生出来的概念。
M-可补性对于群构造具有非常重要的影响，下面我们分别从子群的划分和群的非正则性两个方面进行详细阐述。
一、子群划分
首先，我们将介绍子群的划分。简而言之，子群的划分是将一个给定群中的元素划分为若干不相交的子集，并且每一个子集都构成一个子群。基于这个概念，我们可以得到分解定理：
定理1：熟知群G的子群H和K，则H和K具有一种M-可补性当且仅当:
HMK=G，且
G=HK.
这个定理是分解定理的基础，对于学习子群分解的研究者来说具有非常高的参考价值。在此基础上，我们还可以得到下面的引理：
引理1：H和K关于子群M是M-可补的，则H/M，K/M和G/M轮流同构，即存在划分φ:H→G/M和ψ:K→G/M，满足φ(h)≠ψ(k)当h∈H-k和k∈K-h时恒成立。
接下来我们将通过一个简单的例子来举例说明这个引理：
例子1：我们考虑一个熟知的群G=S4，其中S4是4个元素的置换群，存在两个子群H=<(123)>和K=<(132)(4)>,以及一个阶为2的子群M=<(12)>.易知H∩K={1}，因此H和K关于M是M-可补的。
接着我们考虑H/M，K/M和G/M三个子群的关系。首先可以看出，M的左陪集为{(12),(34)}，因此M只有2个左陪集。由于H=<(123)>，因此H一定包含置换(4)，于是H/M={(123)M,(4)M}={(12)(34)M,(12)}.同理，对于K=<(132)(4)>，有K/M={(132)(4)M,(12)}.最后，由于G=S4，因此G/M={(1234)M,(1324)M,(1432)M,(12)(34)M}={(12),(34),(123),(132)}.
现在我们来证明<φ(H),ψ(K)>+M=G.
1.首先考虑<φ(H),ψ(K)>.显然，我们有H⋊M=<(123)(12),(4)(12)>和K⋊M=<(132)(12),(4)(12)>,由于H和K关于M是M-可补的，因此H⋊M=K⋊M，即<(123)(12),(4)(12)>=<(132)(12),(4)(12)>.因此，我们有:(123)(12)(4)(12)=(132)(12)(4)(12).
2.然后考虑M.显然，M被<φ(H),ψ(K)>+M包含，因为对于任意a∈H和b∈K，有(aψ(b))+M=φ(aψ(b))M=φ(a)φ(b)M.因此我们还需要证明<φ(H),ψ(K)>与M的交集为1.假设存在g∈<φ(H),ψ(K)>∩M，对于任意h∈H和k∈K，我们有g=hMψ(k)M=hψ(k)M，且g∈M，因此得到g=ψ(k)M，即g和k等价。由于H和K的交集为{1}，因此没有相同的施加k能够得到g。于是得到g=1.
综上所述，我们得证了<φ(H),ψ(K)>+M=G.注意到H，K和M都是G的子群，因此<φ(H),ψ(K)>和M也是G的子群。下面我们考虑G的阶:
|G|=24=|H|⋅|K|=|<φ(H),ψ(K)>|⋅|M|=|<φ(H),ψ(K)>+M|.
因此有G=<φ(H),ψ(K)>+M.
通过这个例子，我们可以看出M-可补性是的子群划分成为可能，并且使得这个划分成为可能的同时保证了G的性质。因此，M-可补性是群构造中不可缺少的概念。
二、群的非正则性
除了子群划分中的影响外，M-可补性还对群的非正则性也有着重要的影响。我们知道，群的非正则性是指由多个子群组成，其中至少一个子群不是正规子群。在这种情况下，这个群的表现往往比较复杂，其结构和分解往往会给我们带来困难。但是，如果我们能够利用M-可补性构造出群的子群划分，那么这里的问题就会得到一定程度的缓解。