专题07 双等腰旋转模型（解析版）(1).docx

专题07双等腰旋转模型
【模型说明】

【例题精讲】
例1．（基本模型）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案】（1）90；（2），见解析；②或
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，，
∵，
∴，
在和中

∴，
∴
（2）或．
理由：①∵，
∴．
即．
在和中
，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：

∵，
∴．
即．
在和中
，
∴．∴．
∵，，，．
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
例2．（坐标系综合）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．
（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．
（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

（3）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE＝BE+CE．

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）如图1，△AOB为等边三角形，理由是：∵将绕OB绕O点旋转至OA

∴∠AOB=60°，
∵AO＝AB
∴△AOB为等边三角形；
（2）AP＝2AO，理由为：
证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，
∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，
∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，
在△ABG和△OBE中，

∴△ABG≌△OBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BOE＝60°，
∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，
∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP＝90°，
∴∠APO＝30°
在Rt△AOP中，∠APO＝30°，
则AP＝2AO．
（3）补全图形，
在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，

∵△AOB为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，
∵D为CO的中点，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，
∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴∠AEB＝15°+45°＝60°，
在△ABE和△CBM中，
∵
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM＝BE，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE＝EM，
∴AE＝AM+EM＝CE+BE；
例3．（培优综合）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2
【详解】解：（1）如图1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE