专题06 等腰旋转模型（解析版）(2).docx

专题06等腰旋转模型
【模型说明】

【例题精讲】
例1．（判断数量关系）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①求证：∠BAE＝∠BDE；
②求证：BD＋CF＝BC．
（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）CF＝BC+BD，理由见解析
【详解】解：①∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴=DE，
,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴∠BAE＝∠BDE
②∵,
∴，
∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60º+60º=120º,
又∠ECF＝180º-∠ACB=180º-60º=120º,∴∠DBE=∠ECF
∵FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴
又，而
∴，∴∠EFA=∠BED
又∵FE＝EA=DE
∴，∴,∴
（2），简证如下：
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
同理可得：，得到，，
由，
得到，
又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴
又，而，
∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴
∴
例2.（基本模型）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．

（1）如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是______；②线段、、之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．
【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析；
【详解】解：（1）∵，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
①∴，∴
②∴
（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下：
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
又∵
∴
例3.（旋转问题）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．
【答案】（1）25；（2），理由见详解；（3），，，
【详解】解：（1）∵，∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
故答案为25；
（2）与之间的关系为，理由如下：
∵，
∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，
∴两式相减得：；
（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，
①当三角板转到如图所示时，，

∵，，
∴，
∴；
②当三角板转到如图所示时，，

∵，
∴，
∴；
③当三角板转到如图所示时，，

∵，
∴，
∴；
④当三角板转到如图所示时，，

∵，
∴，
∴；
综上所述：t的值为，，，；
故答案为，，，．
【变式训练1】如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；
（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或
【详解】解：（1）∵，，
∴BC=2AB=4，，
∵
∴，
∴BD=AB=1，
∴=BC-BD=4-1=3；
（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，

∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，
∴AD=AE，，，
∵，
∴，
∴，
∴AN=AF，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵AN=AF，
∴，
∴，即F是BC的中点，
∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，
∵AN=AF，
∴；
（3）解：由题意可得AD=AE，，
∴，

分三种情况：
①AM=MD时，
∵AM=MD，
∴，
∴，
∵，
∴；
②AM=AD时，
∵AM=AD，
∴，
∵，
∴；
③AD=MD时，
∵AD=MD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴当为等腰三角形时，的度数为或或．
【变式训练2】如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：