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格序极限空间及其范畴性质
引言
格序是拓扑学和代数学中一个常见的概念，它在不少领域中有着广泛的应用。格序极限空间是关于格序的一种重要的结构，它被广泛研究和应用。本文将介绍格序极限空间的定义、基本性质及其在闭映射定理、紧性和有限性等方面的应用。
定义和基本性质
格序是一个非空集合P上的一个偏序关系，即对于任何a,b∈P，有a≤b或者b≤a。如果P中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称P是一个格序；如果P中存在最小元和最大元，则它是一个有穷格序。
格序极限空间是指一个格序(P,≤)上的拓扑空间，其邻域基由包含某个元素x的所有上集Ux构成。其中，上集Ux定义为：Ux={y∈P|y>x}。
我们接下来介绍格序极限空间的一些基本性质。
性质1：格序极限空间是拓扑空间。
证明：我们需要证明格序极限空间上的拓扑是满足以下三个条件的：空集和全集都是开集；任何开集的并集和任意有限个开集的交集都是开集。显然满足上面的那些条件，证毕。
性质2：任何一个格序极限空间都是Hausdorff的。
证明：放缩法即可证明所有的x,y∈S且x≠y都存在Ux以及Uy两个开集，它们互相不交。
性质3：格序的连续函数在极限空间上是连续的。
证明：设格序(P,≤)上的连续函数为f：P→Q，其中Q为一个其他定义明确的拓扑空间。证明其在极限空间上是连续的，只需要证明其对于任意的极限滤子{xα}和其极限x，都有f(x)是极限滤子{f(xα)}的极限即可。
性质4：格序极限空间中的Cauchy列必定收敛。
证明：若{xα}为P上的Cauchy列，则对于任意的上集Ux，都存在一个自然数N，使得当α,β≥N时，xα,xβ都在Ux中。即对于任意的上集Ux，都有极限滤子{yα}使得过滤元素作为指标的原始序列{xβ}经过Uy时不会有极端情况的发生。
然后令滤子{yα}以y=x+1为极限，就得到了K=lim(yα)，满足对于任意的上集Ux，在K以外的所有点都在其补集中。再进一步令滤子以y=x为极限就得到极限x。
因为对于任意的下集V，x以及P中足够接近x的点都在V中，因而其极限也应该在V中，因此x就是{xα}的极限，证毕。
应用
格序极限空间有着广泛的应用，我们这里介绍其中一些常见的应用。
闭映射定理
格序极限空间上的连续映射如果满足闭的条件，那么它是一个闭映射。
证明：设f：X→Y是一个从格序极限空间X到Y上的连续映射，并且f是一个闭映射。则注意到f可以被看成一个从极限滤子到Y的连续函数，因此f是一个格序上的连续函数；另一方面，由于f是一个闭映射，所以f(∂U)包含在{f(x)|x∈U}的闭包之中，其中U是X上的任意一个开集。这就意味着f(∂U)也包含在{f(x)|x∈U}的闭包之中，因此f(∂U)=∅。由此可以得到f(U)是Y上的一个开集。证毕。
紧性
任何一个格序极限空间都是紧的。
证明：设X是一个格序极限空间，则根据定义我们需要证明任何X上的开覆盖都可以找到有限子覆盖。我们证明只需要证明任何上集Ux的族{Uxα}都可以找到有限子族{Uxα,i}使得Ux∈{Uxα,i}，即可证明其紧性。
证明方法与其它拓扑空间紧性的证明类似。如果找到了一个X上的无限序列{xi}没有极限，我们就可以通过将其子序列按照在P中的关系逐渐缩小，构造出一个从自然数到X的连续函数，结果显然不连续，产生矛盾；因此我们可以通过这种方式证明X是紧的。
有限性
接下来我们介绍另一个有用的性质，即格序极限空间的有限性。
定义：设P为一个格序，则称x∈P上的一个极小元素，如果它没有真的上界（即不存在y∈P使得x<y）；称x∈P上的一个极大元素，如果它没有真的下界（即不存在y∈P使得x>y）。
一个格序P是有限的，如果其满足以下条件中的任意一条：
-它只有有限个元素；
-它有一个唯一的极小元或极大元；
-对于任意非空的上集，它都有极小元，并且对于任意非空的下集，它都有极大元。
此外，格序极限空间满足以下性质：如果一个格序P是有限的，则其格序极限L(P)也是一个有限的格序。这个结论可以通过归纳来证明，略去证明过程。
结论
本文介绍了格序极限空间的定义、基本性质及其在闭映射定理、紧性和有限性等方面的应用。格序极限空间具有广泛的应用，在代数学、拓扑学等领域中都有重要的地位，对此我们应该更加深入地理解和掌握格序极限空间的相关知识。