子群的特性与有限群的结构.docx

子群的特性与有限群的结构
本文将讨论子群的一些基本特性以及有限群的结构。在群论中，子群是群的基本结构，可以通过群中的元素运算生成。我们将首先介绍子群的定义以及其性质，然后讨论有限群中子群的结构和分类。
子群的定义
群G中的非空子集H是G的子群，当且仅当满足以下条件：
1.H是G的封闭子集，即h1*h2∈H，对于任意的h1,h2∈H。
2.H包含G的单位元素e。
3.H包含G中元素的逆元素。
满足这些条件的子群H通常记作H≤G，其中≤表示“是G的子群”。
子群的性质
1.如果H是G的子群，则H也是一个群。
2.对于任意的g∈G，gH={gh∣h∈H}和Hg={hg∣h∈H}都是G的左和右陪集。
3.如果H是无限集，且H是G的有限子群，则H在G中是离散的。
4.如果H是有限子群，则|H∣k|=|G∣n，其中k和n是正整数，k|n。
5.如果H是正规子群，则通过商群G/H，可以将G分解成等价的左陪集，其元素为gH，其中g为G的任意元素。
有限群中子群的结构
在有限群中，子群的结构可以被分类。约旦－戴斯若定理是这个分类的基础，即任何有限群都有一个不可约的复数表示，其中每个群元素的特征值都是根号下一组对称约旦－戴斯若块的某种组合。这些约旦－戴斯若块是一些直和的差。这允许分类子群和它们的结构。下面是几种常见的子群结构。
循环子群
循环子群是由群G中任意元素生成的子群。如果只考虑有限群，则所有循环子群都是循环的。用g表示G中的一个元素，则g的n次方生成的子群{g^0=g^n,g^1,g^2,⋯,g^(n-1)}是由g生成的n阶循环子群。每个阶为n的循环群都同构于Z_n，其中Z_n表示模n的整数环。
拉格朗日定理
拉格朗日定理是代数学中最基础的定理之一。它指出，在有限群G中，每个子群的阶必定是G的阶的因数。该定理可以表示为：
|H∣k||G∣n
其中k和n是正整数，k|n，|H|表示H的元素数量，|G|表示G的元素数量。这个结论相当强大，因为它提供了对群结构的准确定义，使得一些问题可以被简单地解决。
关于子群的其他结论与定理
或许最基本的一条定理是：群G中，任何元素的阶整除群的阶。但是对于子群H中的元素来说，其阶有可能大于H的阶，并且H的阶整除G的阶。因此，在H中取一个元素的阶，一般来说没有什么用处，但是取H中元素的阶的公共倍数却非常重要。接下来讨论一些主要的关于子群的结论。
阶定理：任何有限群G中，p是素数，则G中阶为p次幂的元素个数是p的倍数。
同构定理：如果有两个群G和H，那么如果存在一个群同构映射φ:G→H，则G和H是同构的。
可解群：一个群是可解的，当且仅当存在一个有限的长正规子群链可以使其群元生成群。换句话说，如果一个无限可数的群仅有有限个不可约复表示，则该群是可解的。
扩张定理：如果一个群G有一个子群H和一个正规子群N，那么G的元素则可以唯一地表示成hn，其中h∈H，n∈N。
总之，在群论中，子群是群结构的基础，对于研究群的性质和结构十分重要。通过对群的子群进行分类，我们可以更好地理解群的结构。