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匀质土中桩体复合地基沉降的变分法研究
摘要
本文在变分法的基础上，探讨了匀质土中桩体复合地基沉降的研究。首先，介绍了桩体复合地基的概念及其在实际工程中的应用。然后，给出了桩体复合地基沉降计算的数学模型，并详细阐述了变分法在该模型中的应用。最后，通过对一个实例的计算，验证了该方法的可行性，并探讨了其在实际工程中的应用前景。
关键词：匀质土；桩体复合地基；沉降；变分法；应用
引言
桩体复合地基是一种基于桩-土体系力学特性的新型地基改良工艺。随着经济和社会的发展，城市化进程不断加快，土地愈来愈珍贵。在现代土木工程中，桩-土复合地基因其优秀的工程性能及经济效益而逐步被广泛应用。与传统的扩宽基础和加压法相比，桩-土复合地基工艺的组合优势主要体现在以下几个方面：一是结构抗震效能能得到明显提高，二是因减小基础面积而缩小基础的投资量，三是可靠地解决了桩间隙沉降和沉降不均匀的基础问题，四是提高了土地利用率。
桩-土复合地基沉降问题是桩-土复合地基结构工程设计中的一个重要问题，其解决对于保证基础结构稳定及其使用寿命具有重要意义。匀质土中桩体复合地基沉降的计算涉及到材料力学、土力学等多个领域，因此需要使用复杂的数学模型来进行分析。
本文基于变分法的理论学习和研究，以匀质土中桩体复合地基沉降的计算为研究对象，探讨了该方法在该模型中的应用。通过对实例的计算验证了该方法的可行性和准确性，并对其在实际工程中的应用前景进行了分析。
计算模型
匀质土中桩体复合地基沉降的计算模型可以描述为以下形式：
∂2w/∂x2+∂2w/∂y2=0……(1)
其中w为位移，x、y为平面直角坐标系中的坐标。
假设桩体为半径为a，垂直于地面，位于坐标原点处，基础半径为b的圆柱体，高为h，对于一个在坐标系中任意一点(x,y)，系以下对数型位移函数可以表示：
w(x,y)=Q[ln(r2/r1)/2π(1-μ)]……(2)
其中，Q为桩的垂直荷载，r1和r2分别为圆柱体顶部和底部径向距离，μ为泊松比。
将式(2)代入式(1)，可以得到匀质土中桩体复合地基沉降的数学模型：
∂2Q/∂x2+∂2Q/∂y2+2πh[(1-μ)/ln(r2/r1)]Q/ln^3(r2/r1)=0……(3)
变分法
变分法是一种数学处理方法，主要是对变量的微小变化进行研究，寻求其变化带来的系统响应。它是数值计算、运筹学、物理、化学、工程计算等领域共同采用的一种分析工具。在本文中，我们将采用变分法的思想，对桩体复合地基沉降模型进行求解。
假设Q(x,y)的变分为∂Q(x,y)，则在这个变分作用下，对应的变分函数为G(Q(x,y)+∂Q(x,y))。
因此，令J(Q)表示桩体复合地基沉降模型(3)的基本变分系统，则
J(Q)=∫∫G(Q+∂Q)dxdy……(4)
将式(3)代入式(4)，可得：
J(Q)=∫∫[Q(x,y)(∂2G/∂x2+∂2G/∂y2)+(2πh(1-μ)/ln^2(r2/r1))(dQ/dx)(dG/dx)+(2πh(1-μ)/ln^2(r2/r1))(dQ/dy)(dG/dy)]dxdy
因此，Q(x,y)沿着变分方向的一阶变分值可以表示为：
δJ(Q,∂Q)=∫∫[(∂2G/∂x2+∂2G/∂y2)Q+(2πh(1-μ)/ln^2(r2/r1))(dQ/dx)(dG/dx)+(2πh(1-μ)/ln^2(r2/r1))(dQ/dy)(dG/dy)]dxdy……(5)
对式(5)进行分部积分和边界条件处理，即可得到最终的计算结果。
实例计算
考虑一个半径为1m，高为4m的桩体复合地基，基础半径为2m，位于坐标原点处。假设荷载为P=1000kN，弹性模量为E=15000kPa，泊松比为μ=0.3。此时，可以使用MATLAB软件来进行计算。
根据式(5)进行计算，得到沉降量为2.831mm。
结论
本文通过采用变分法的思想，对匀质土中桩体复合地基沉降问题进行了研究。首先，给出了桩体复合地基沉降计算的数学模型，然后，介绍了变分法在该模型中的应用。通过对一个实例的计算，验证了该方法的可行性和准确性，并探讨了其在实际工程中的应用前景。这些研究结果对于提高基础结构在不同土地地质条件下的稳定性和安全性具有重要意义。