材料力学梁弯曲时的位移.ppt

第五章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作第五章梁弯曲时的位移Ⅱ.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。例题5-1试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。解：该梁的弯矩方程为从而有可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？例题5-2试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。解：该梁的弯矩方程为该梁的边界条件为
在x=0处w=0，
在x=l处w=0根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故例题5-3试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。解：约束力为两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。该梁的两类边界条件为由另一支座约束条件w2|x=l=0有从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左、右两支座处截面的转角分别为显然，由于现在a>b，故上式表明x1<a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致b2和l2相比可略去不计时有当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为思考:试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1)跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。例题5-5试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度wC和两支座截面的转角qA及qB。作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号8的公式有注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁AC和右半跨梁CB分别视为受集度为q/2的均布荷载作用而跨长为l/2的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况下的公式有按叠加原理得例题5-6试按叠加原理求图a所示等直外伸