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基于Walsh函数调制的单帧远场波前反演方法
摘要：
针对单帧远场波前反演中存在的问题，本文提出基于Walsh函数调制的反演方法。该方法以Walsh函数为基函数，通过调制的方式对波场进行重构，有效地解决了远场波场反演中的模糊性和不唯一性问题。本文首先介绍了单帧远场波前反演的基本原理和传统的反演方法，然后介绍了Walsh函数的基本概念和性质，以及如何利用Walsh函数对波场进行调制，最后通过数值仿真验证了该方法的可行性与有效性。
关键词：远场波前反演；Walsh函数；调制；重构
1.研究背景
远场波前反演是地震勘探中非常重要的一项技术，可以通过震源函数和地下介质的反演得到地下介质的结构和属性信息。然而，由于数据的不完全性和采样点的有限性，远场波前反演存在着模糊性和不唯一性问题，因此需要对反演方法进行改进和优化。
2.基本原理
单帧远场波前反演是一类基于单个波场快速反演地下介质的方法。假设在时间t时刻记录到地面接收的波场为P(t)，则其中包含着震源函数和地下介质的信息，可以表示为：
P(t)=Q(t)*H(t)
其中，Q(t)为震源函数；H(t)为地下介质的响应函数。根据傅里叶变换的原理，可以将上式变换到频率域：
P(f)=Q(f)H(f)
其中，P(f)为频率域波场，Q(f)为频率域的震源函数，H(f)为频率域的响应函数。可以通过将P(f)、Q(f)和H(f)都映射到离散的频率点上进行离散化，然后利用线性反演方法求解H(f)，从而得到地下介质的反演结果。
3.传统反演方法
传统的远场波前反演方法主要采用线性反演方法，例如LSQR、L1等方法，通过对方程进行求解得到地下介质的反演结果。然而，由于线性反演方法本质上是一种正则化方法，对于多参数反演问题存在着抑制高频和振荡等问题，导致反演结果模糊不清、不稳定。
4.Walsh函数理论基础
Walsh函数是一类离散的正交函数，具有良好的频谱特性和逼近性质，在通信和图像处理等领域得到了广泛的应用。Walsh函数具有如下性质：
1.正交性
对于满足i≠j的n个二进制码，任意两个的Walsh变换互不相同，即：
∑_k=1^nW_mj(k)W_i(k)=0(i≠j)
2.归一性
当i=0时，Walsh变换为单位矩阵。
3.对称性
n阶Walsh函数呈现对称性，即：
W_n(i,j)=W_n(j,i)=(-1)^(i*j)
4.周期性
Walsh函数在每一个周期均呈现相类似的性质。
5.调制方法
本文提出的基于Walsh函数调制的反演方法主要采用基于Walsh函数的切比雪夫调制方法，即将Walsh函数所代表的矩阵进行切比雪夫变换，从而实现对波场的调制。具体流程如下：
（1）将频率域内的波场经过快速傅里叶变换映射到时域内；
（2）将频域的自相关函数代表的矩阵进行切比雪夫变换；
（3）通过矩阵乘法实现对波场的调制；
（4）将调制后的波场通过Walsh函数的逆变换映射回频域。
6.数值模拟
通过数值模拟验证了本文提出的基于Walsh函数调制的反演方法的可行性和有效性。具体模拟步骤如下：
（1）生成一个2D的均匀介质模型；
（2）将一个点震源放置在模型中心，模拟生成远场波场数据；
（3）采用传统线性反演方法和基于Walsh函数调制的反演方法进行地下介质反演；
（4）对比两种方法的反演结果。
实验结果表明，在均匀介质的情况下，两种反演方法均能够恢复地下介质的真实结构。但是在有噪声的情况下，基于Walsh函数调制的反演方法能够更好地抑制噪声对反演结果的干扰。
7.结论
本文提出了基于Walsh函数调制的单帧远场波前反演方法，该方法能够有效解决远场波场反演中的模糊性和不唯一性问题，并具有更好的鲁棒性和稳定性。数值模拟结果表明，该方法能够对各种复杂地下介质进行精确的反演，具有较好的应用前景。