静电场的解法ppt课件.ppt

第三章静电场的解法3.1静电场问题的类型3.1.2边值型问题3.2唯一性定理则有3.2.2唯一性定理的证明可得对于第三类边值问题，证明类似。
对于泊松方程解的唯一性的证明，仍然假设有两个解φ1φ2都满足泊松方程和给定的边界条件，即唯一性定理提出了定解的充分必要条件，是关于边值问题的一个重要定理。它的重要意义在于告诉我们：如果一个区域中的电荷分布和边界条件都给定，则该区域中有解且解是唯一的，此解一定满足泊松方程或拉普拉斯方程，同时满足边界条件；反过来，一个函数如果同时满足电位方程和边界条件,则此函数一定是该区域中电位的唯一解。

因此，可以自由选择任一种求解电场的方法，即使是采用凑的方法或者靠判断猜测出的解，只要它满足拉普拉斯方程（或泊松方程），又满足给定的边界条件，那么根据唯一性定理，这个解就是所要求的解。3.3分离变量法3.3.1直角坐标系中的分离变量法其中由上式可知三个待定常数中只有两个是独立的，且它们不能全为实数，也不能全为虚数，如有两个取实数时，第三个必取虚数，若其中一个为零值，剩下的两上必定一个是实数，一个是虚数，分离常数kx，ky，kz的选取由边界条件决定；解的具体形式由分离常数的取值决定。如：注意：上述线性函数式和双曲函数式都最多只有一个零点，而正弦函数式在x方向上有无穷多个零点。由于电荷分布关于Z=0平面对称，所以必定关于平面反对称，且只有Z方向的分量，即在上底面上，在下底面上。今在以Z=0为中心，上、下底面积为dS，高为Z的高斯面上，如图所示，有：3.3.2圆柱坐标系中二维拉普拉斯方程的解φ必须是单值其解形式为：例在圆柱坐标系中，两个φ＝C的平面在Z轴上是绝缘的。设在平面φ＝α上的电位为100V，参考零电位在平面φ＝0上。忽略边缘效应，求两平面之间的表达式。3.3.3球坐标系中二维拉普拉斯方程的解23因为θ＝0时，Q(1)→∞，所以，如果场域中包括θ＝0的点，则应取Bn=0。故：其中，Pn(cosθ)又称为勒让德多项式，记作Pn(x)。通式为：另外勒让德多项式还具有正交完备性。即：例在均匀外电场中放置一半径为a的介质球，球的电介常数为ε，球外为空气（介电常数为ε0），如图所示，计算球内、外电位函数。对于φ1，根据r=0处的自然边界条件可知解中不应该存在的负幂项，而球外区域的解φ2中可以有的负幂项。因此，φ1和φ2可分别表示为：用Pm(cosθ)sinθ乘上式两边，对θ从0→π积分，根据勒让德多项式的正交性可知，只有n=1项的系数不为零，且A1=－E0，故φ2可简化为：因此，可得球内外的电位函数3.4镜像法3.4.1平面导体与点电荷

设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h。若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半空间中的电场。其边界条件可写成：Z=0处，φ=0
由于无限大导体平面上一点电荷q在上半空间的电场分布与无穷大空间中相距为2h的两等值异号点电荷的电场完全相同，如图所示。因此，无限大导体平面边界可用一个位于（x，y，z－h）的－q来替代，即抽走导体板，在与原点电荷q对称的位置上放置一个镜像电荷－q来代替原导体平面上的感应电荷，则该镜像电荷在空间中任一点产生的电场与感应电荷产生的电场等效。若选无穷远处为零电位点，则有：将r1和r2的表达式代入上式可得：角形区域
如直角形区域的边界为两个相交成直角的无限大导体平面并接地，如图所示，在它附近有一点电荷，现来计算此直角形空间内的电位分布φ。对于以上的原电荷和镜像电荷，从几何关系上不难看出：它们位于一个同心圆上，而且从原电荷开始，无论是绕顺时针还是逆时针走向，相邻的一对互为镜像的电荷大小相等，符号相反，并且最终回到原电荷位置，如图所示如果两导体平面相交不成直角，而是成α角时，也必须同上面的情况一样，轮流地找出那些镜像电荷及镜像电荷的镜像，一直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。可以证明：只有当3.4.2导体球面与球外点电荷

例：设一个半径为a的接地导体球，在与球心相距d1的P1点有一点电荷q1，如图所示，试求导体球外的电位函数。解：由静电感应原理可知：接地导体球上的感应电荷分布对OP1轴对称且右边密度大于左边密度，则镜像电荷一定位于原电荷与球心的连线OP1上，设镜像电荷q2距球心距离为d2，另外，镜像电荷q2与原电荷q1产生的场在球面上任一点必须满足电位为零的条件。若在球面上任选一点P，则有：由此可得：感应电荷与镜像电荷相等对于线电荷与导体柱面的边值问题，如果用镜像法，其求解方法与点电荷与导体球面的边值问题的求解方法类似。当电介质分界面为无穷大平面时，如果在其附近放置一点电荷或一线电荷，用镜像的点电荷或镜像的线电荷来等效介质分界面上束缚电荷对电位的影响，这样原边值问题的电位就等于全空间充满与所求区域相同的介质时，原电荷与镜像电荷所