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微积分的函数连续考研数学解析

首先，所谓连续即“极限值=函数值”这一个等式包含了三个方面：1、函数必须在该点处有定义；2、函数必须在这个点附近存在极限；3、是前面1、2两点的内容必须相等，同时满足这三个条件，才叫做函数在某点处连续。判断函数连续，要先求极限，所以，如何求函数在该点处的极限值或是用极限存在的充要条件(左右极限存在且相等)，是一个隐含的知识点。其次，我们自然会问，会不会有不连续的点呢？答案当然是肯定的，不连续的点就是我们所说的——间断点。那么所谓“不连续”就是不能同时满足连续的三个条件的点：1、函数在该点处没有定义；2、若函数在该点有定义，但函数在该点附近的极限不存在；3、虽然函数在该点处有定义，极限也存在，但是二者不相等。对于间断点，根据左右极限存在与否，我们把它分为两类。若左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；若左右极限相等，这个间断点称为第一类间断点中的可去间断点；若左右极限不相等，这个间断点称为第一类间断点中的跳跃间断点；若左右极限中至少有一个不存在(包含极限等于无穷的情形)的间断点，称为第二类间断点；若其中一个极限是趋于无穷的，这个间断点就称为无穷间断点；若极限是在两个常数之间来回振荡的，就称为振荡间断点。三个性质最后，对于连续性最重要的应用或者是说考研中的一个小难点，就是闭区间上连续函数的三个性质：最大最小值定理、零点定理、介值定理。如何考察对于上面的知识点，我们看看在考研中是怎么考察的。对于连续的.概念，难度上属于简单知识点。首先，在十五年前，对于连续性的考查，更多的是给一个分段函数，然后判断分段点处函数的连续性，这是一个基本题型，只需判断连续的三个条件即可，其实主要是考查求函数某点处左右极限的值。然后，进入20世纪，考查又倾向于在选择题当中，给一个函数，让大家来判断这个函数有多少间断点，间断点的类型是什么，这个又比之前考查的更高一层。最后，就是在逻辑推理题中，考查零点定理，介值定理，通常，考查介值定理的时候也会用到最值定理。我们归纳题型知道，判断方程根的情况的时候，一般用零点定理；题干中包含好几个函数值相加的时候，一般用介值定理。