安徽省六安一中 高二数学下学期期中试题 理 试题.doc

安徽省六安一中2019-2020学年高二数学下学期期中试题理
满分：150分时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则在复平面内复数表示的点位于（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（）．

A．B．C．D．
3．4片叶子由曲线与曲线围成，则每片叶子的面积为（）．
A．B．C．D．
4．函数的导函数为，则的解集为（）．
A．B．C．D．
5．已知函数（是自然对数的底数），则的极大值为（）．
A．B．C．1D．
6．若函数有极值点，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．D．
7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）．
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）．
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
9．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）．
A．B．
C．D．
10．已知数列满足，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（且），则（）．

A．B．C．D．
11．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（）．
A．B．C．D．
12．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．定积分的值是________．
14．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则________．
15．已知在上是单调增函数，则实数的取值范围是________．
16．已知函数．下列说法正确的是________．
①有且仅有一个极值点；②有零点；③若极小值点为，则；④若极小值点为，则．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知，，均为正实数．
（1）用分析法证明：；
（2）用综合法证明：若，则．
18．（本小题满分12分）
观察下列等式：

……
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）比较与的大小．
20．（本小题满分12分）
“既要金山银山，又要绿水青山”．某风景区在一个直径为100米的半圆形花园中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点（与，不重合），沿修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计，设（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数，求绿化带的总长度的最大值．

21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）设函数，且函数的两个极值点为，，求证：；
（3）若对于，恒成立，求正实数的取值范围．

六安一中2019~2020年度第二学期高二年级期中考试
数学试卷（理科）参考答案
题号123456789101112答案DACBDBDAABDC13．14．115．16．①③
17．（Ⅰ）证明：因为，，所以，
要证明，即证，
即证，即证，即证．
因为不等式显然成立，从而原不等式成立．5分
（Ⅱ）因为，，均为正实数，则由基本不等式，得
，，，
所以，因为，所以．10分
18．【解析】（1）．4分
（2）证明：<1>当时，左边，右边，左边右边
∴当时，等式成立；5分
<2>假设当时等式成立，即

则当时
左边

右边
∴当时，等式也成立11分
由<1><2>可知，对一切，等式都成立．12分
19．【解析】（1）由题可得：，，所以，
所以所求切线方程为：，即：4分
（2），当时，，当时，
所以函数在区间上单调递增，在上单调递减．8分
（3）因为函数在上单调递减，所以，
即：，整理得：，
即，由在递增可得：
．12分
20．解：设圆心为，连结，．在直角中，，的弧长；2分

所以，其中．6分
，，
令，可得，所以．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；