向量的数量积在解代数题中的应用 专题辅导 不分版本 试题.doc

向量的数量积在解代数题中的应用

王杰
由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这个工具解题。可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。下面分类介绍向量的数量积在解代数题中的应用。
一、在代数求值中的应用
例1设a，b，c，x，y，z均为实数，且，，求的值。
解：由题设条件，设
由得：
，
即，
变形整理得：。
同理，。
所以
二、在证明代数恒等式中的应用
例2已知，且，求证：。
证明：构造向量，
因为，所以
又由条件知，，
所以，因为，p=q，
即，所以
三、在解方程中的应用
例3解方程
解：设
由于，
，
得
即有 ①
代入原方程有，
将代入方程组①可求得原方程的唯一一个根为：
四、在证明不等式中的应用
例4设任意实数x，y满足，求证：。
证明：构造向量
由，得
因为，所以
所以。
五、在函数最值中的应用
例5求函数的最大值。
解：令，
则
故
当且仅当a与b同方向，即时取等号，解得。
所以当时，取得最大值12。
六、在数列中的应用
例6给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列
，试求的最大值。
解：由题意知

令，
则。
因为，所以，
所以。
当且仅当m与n同号，且=M时，等号成立。
由，解得
，
故当时，
S取得最大值。