高考物理复习专题系列十六：模型组合讲解——矢量运算模型[1]..doc

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模型组合讲解——矢量运算模型
吴俊

［模型概述］
矢量及运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，所以在进行模块讲解之前，我们有必要熟练掌握矢量的运算规律。

［模型讲解］
例.（2005年安丘市统考）
如图1所示，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为G。在平行四边形内任取一点O，作矢量OA、OB、OC、OD，则这四个矢量所代表的四个共点力的合力等于（）

图1
A.4OG B.2AB C.4GB D.2CB
解析：如图2所示，延长OG至P，使GP＝OG，连结PA、PB、PC、PD，得平行四边形AODP和平行四边形COBP。由力的平行四边形定则知道，矢量OA、OD所代表的两个共点力的合力可用矢量OP表示，即。

图2
同理，矢量OB、OC所代表的两个共点力的合力也可用矢量OP表示，即。
从而，四个共点力的合力。所以A项正确。
评点：由于题中的O点是任取的，各力的大小和方向无法确定，通过直接计算肯定行不通。但考虑到平行四边形的对角线互相平分这一特点问题就解决了。其实对该部分的考查往往是从特殊的角度进行的，如θ＝0°，90°，120°，180°等。
总结：（1）当两分力和大小一定时，合力F随着θ角的增大而减小。当两分力间的夹角θ＝0°时，合力最大，等于；当两分力间的夹角θ＝180°时，合力最小，等于。两个力的合力的取值范围是。
（2）求两个以上的力的合力，也可以采用平行四边形定则，先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的就是这些力的合力。为方便某些问题的研究，在很多问题中都采用特殊法或正交分解法。

［误区点拨］
（1）在受力分析时要明确合力与分力的关系。“有合无分，有分无合”，不要多添力或少力。
（2）合力可以大于、等于或小于分力，它的大小依赖于两分力之间的夹角的大小，这是矢量的特点。
（3）有n个力，它们合力的最大值是它们的方向相同时的合力，即，而它们的最小值要分下列两种情况讨论：
①若n个力中的最大力大于，则它们合力的最小值是。
②若n个力中的最大力小于，则它们合力的最小值是0。

［模型要点］
矢量的合成与分解是相互可逆的过程，它是我们进行所有矢量运算时常用的两种方法。
运算法则：遵守平行四边形定则。
物理思想：在合成与分解时贯穿了等效替代的思想。在以后的学习过程中，例如“运动的合成与分解”、“等效电路”、“交变电流有效值的定义”等，都要用到“等效替代”的方法。所以只要效果相同，都可以进行“替代”。

［特别说明］
（1）矢量运算一般用平行四边形法则。但可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。而标量运算遵循一般的代数法则，如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等物理量，无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。
（2）矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可构成新的标量，也可构成新的矢量，构成标量的乘积叫标积；构成矢量的乘积叫矢积。如功、功率等的计算是采用两个矢量的标积；洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
（3）多边形法：将这些矢量的箭尾与箭头依次相连接，然后将第一个矢量的箭尾连到最末一个矢量的箭头的矢量，就是所要求的合矢量。其大小和方向与相加次序无关。矢量减法是矢量加法的逆运算。
（4）矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。如已知两个不平行分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，分解是唯一的。

［模型演练］
1.（2005年海淀区期末练习）
如图3所示，三个完全相同的绝缘金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，c球在xOy坐标系原点O上。a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b所带电荷量少。关于c受到a和b的静电力的合力方向，下列判断正确的是（）

图3
A.从原点指向第I象限
B.从原点指向第II象限
C.从原点指向第III象限
D.从原点指向第IV象限
答案：D