高二数学第二章 推理与证明人教实验版（B）知识精讲.doc

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高二数学第二章推理与证明人教实验版（b）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
选修2—2第二章推理与证明

二.教学目的：
1、了解合情推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用归纳推理、类比推理和演绎推理等进行简单的推理，体会并认识它们在数学发现中的作用和重要性．
2、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点．
3、掌握间接证明的一种基本方法―反证法；了解反证法的思考过程、特点．
4、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

三.教学重点、难点：
重点：合情推理、演绎推理以及证明方法——直接证明和间接证明；
难点：对数学归纳法的理解

四.知识分析：
【本章知识结构】

【重点知识回顾】
1、合情推理
前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．
说明：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。
（l）归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．
说明：归纳推理的前提与结论只具有偶然性联系，其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．
其一般步骤为：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
（2）类比推理
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。
说明：在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠．
类比推理的一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
2、演绎推理
根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理．
演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真．例如，由真命题a,b，遵循演绎推理规则得出命题q，则q必然为真．
3、合情推理与演绎推理的区别
归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
4、证明
（l）直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．
综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件．最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”,其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件，
综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．
（2）反证法（间接证明）
一般地，由证明转向证明：,t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
5、数学归纳法
（l）数学归纳法：设是一个与自然数相关的命题集合，如果①证明起始命题（或）成立；②在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定，对一切正整数（或自然数）成立．
（2）数学归纳法的框图表示

（3）数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤称数学归纳法．这两步各司其职但缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真假，而是证明命题是否具备递推性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．
【专题分析】
一、推理
推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式．由于数学中通常把判断称为命题，因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式．推理一般分为合情推理和演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理包括：假言推理、三段论推理、关系推理以及完全归纳推理．
2
1、归纳推理
例1.在数列中，，，猜想这个数列的通项公式。
解：中，，
所以猜想的通项公式
证明如下：因为，，
所以
即
所以数列
公差为的等差数列
所以
所以通项公式

例2.在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多