高考数学 考点04 分段函数试题解读与变式-人教版高三全册数学试题.doc

考点4分段函数以及应用
知识储备汇总与命题规律展望
知识储备汇总:
（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.
（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由>0,<0,分别代入各段函数式计算与的值，若有=,当=0有定义时，则是奇函数；若有f(x)=，则是偶函数.
（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.
（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.
（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.
（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.
（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.
（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.
（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.
2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.
将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.
二、题型与相关高考题解读
1.分段函数求值
1.1考题展示与解读
例1【2017山东，文9】设,若,则
2B.4C.6D.8
【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题.
【答案】C

【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想
【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
1.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】已知函数=，若，则=（）
A.B.2C.D.
【答案】B
【解析】由时是减函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选B.
2.【变式2：改编结论】设,若,则（）
B.C.或D.2
【答案】C
【解析】由题意知，或，解得或，故选C
【变式3：改编问法】已知是定义域为的奇函数，，则=（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意知==，故选D.
分段函数的最值与值域
2.1考题展示与解读
例2【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想.
【答案】，.

【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.
【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域.
2.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】已知函数=.
当时，求的最小值.
（2）若函数无最小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）-6；（2）.
【解析】（1）当时，=，当时，==-6，当时，，所以的最小值为-6.
当时，要使无最小值，由的图象知，，解得；
当时，要使无最小值，由的图象知，，无解；
当时，由的图象知，=-6；
当时，由的图象知，无最小值；
综上所述，实数的取值范围为.
【变式2：改编结论】设函数，，若存在实数，使得函数恰有3个零点，则实数的取值范围为______________.
【答案】(0,1).

【变式3：改编问法】设函数，讨论的值域.
【答案】当时，函数的值域为；
当时，所以函数的值域为；
当时，所以函数的值域为.
【解析】如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大