南通市2009届高三五校期中模拟试卷.doc

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南通市2009届高三五校期中模拟试卷——数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1、已知集合=,,则=.
2、若曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为．
3、在等比数列中，，公比q是整数，则=．
4、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60º，那么|a+3b|等于.
5、已知函数，则m等于
6、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,且的面积为16,过作轴,则的长为.

O
N
M
y
B
A
x
7、 幂函数y=x，当取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图像三等分，即有BM=MN=NA．那么，=▲．

8、设，则函数的最小值是．
9、已知实数x，y满足的最小值为.
10、已知，则
11、已知二次函数f（x）满足，且，若在区间［m，n］上的值域是［m，n］，则m＝，n＝。
12、若对任意实数t，都有．记
，则．

13、若函数f(x)满足：对于任意，都有，且成立，则称函数具有性质M。给出下列四个函数：①，②，③，④。其中具有性质M的函数是_______。（填序号）
14、已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有个（用m表示）．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、已知向量，若，且
（I）试求出和的值；（II）求的值。

16、在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．

17、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.
（1）求证：（7分）
（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.（8分）

１8、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）
（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

19、设函数，其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

20、已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：；
（3）对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

南通市2009届高三五校期中模拟试卷——数学（答案）
一、填空题
1．2．（1，0）3．-1284．5．6.
7．18．9．10．11．m0，n＝112．－113．（1）、（2）、（3）14．

二、解答题
15、解：解：（I）
即

（II）
又

16、解：（1）的内角和，
由得．
应用正弦定理，知，
． 因为，
所以
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．

17、证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN
又FD⊥ADFD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN
GN⊥AC
（2）点P在A点处
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
G是DF的中点，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC

GA//面FMC即GP//面FMC

18、解：（1）设休闲区的宽为米，则其长为米，
∴，
∴
…8分
（2），当且仅当时，公园所占面积最小，……14分
此时，，即休闲区的长为米，宽为米。……16分

19、解：（Ⅰ）．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．
解此不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即
在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．

20、解（1）∵，∴．