黄冈市2008年秋季高三理科数学期末考试题.doc

黄冈市2008年秋高三期末考试
数学（理科）
黄冈市教育科学研究院命制2009年元月13日上午88：00～10：00
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.已知集合，，则集合（）

2.设函数（）为奇函数，，，则（）

3.如果复数为纯虚数，则实数的值为（）
或
4.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则的值为（）
或
5.把函数的图象沿向量（）的方向平移后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（）

6.已知向量，，若与的夹角为，则直线
与圆的位置关系是（）
相交但不过圆心相交且过圆心相切相离
7.已知数列满足：，且对任意的正整数、，都有，若数列的前项和为，则等于（）

8.在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是（）

9.已知椭圆（）与双曲线（，）有相同的焦点和，若是、的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（）

10.若不等式在上恒成立，则的取值范围是（）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是_______________.
12.在中，边为最大边，且，则的最大值是________.
13.设满足的点的集合为，满足的点的集合为，则所表示图形的面积是___________.
14.若，且，则_________.
15.定义在上的函数满足：①是偶函数；②对任意的、都有.请写出这样的一个函数_________.

黄冈市2008年秋季高三理科数学期末考试题答题卡
题号12345678910答案11.；12.；13．；14.；15．答案不唯一，如：（）
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为.（Ⅰ）求的函数表达式；（Ⅱ）当时，解不等式.
【解】（Ⅰ）设是函数的图象上任意一点，则.
∵关于的对称点在的图象上，
∴，即，∴……6′
（Ⅱ）原不等式为：.
∵，∴
故不等式的解集为：.……12′
17．（本小题满分12分）
设向量，，，其中，，与的夹角为，与的夹角为，且，求的值。
【解】∵，.
又，，∴，.
∴，……4′
，.……8′
∵、，∴，.
∴，得：，∴.……12′

18．（本小题满分12分）
某城市从南郊某地乘坐公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布.
（Ⅰ）若只有分钟可用，问应走哪一条路线？
（Ⅱ）若只有分钟可用，又应走哪一条路线？
（已知，，，，）
【解】设行车时间为.
（Ⅰ）走第一条路线及时赶到的概率为
.
走第二条路线及时赶到的概率为
.
因此在这种情况下应走第二条路线.……6′
（Ⅱ）走第一条路线及时赶到的概率为
.
走第二条路线及时赶到的概率为
.
因此在这种情况下应走第一条路线.……12′

19．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：.
（Ⅰ）【解】∵，∴切线的斜率为，
切线的方程为：，即：……4′
（Ⅱ）【证】如果有一条切线过点，则存在使.
因此如果过点可作曲线的三条切线，
那么方程有三个不等实数根。……6′
设，则.
∵，∴当时，；当或时，.
∴在上递减；在、上递增。
∴有三个不等实数根时，极大值，且极小值.
即.……12′

20．（本小题满分13分）
设、，规定运算“”：.
（Ⅰ）若，，求动点的轨迹；
（Ⅱ）设是平面内任意一点，定义：
，，问在（Ⅰ）中的轨迹上是否存在两点，使之满足（、），若存在，求出的范围.
【解】∵
（Ⅰ）当时，设，则，∴（）
即（，），轨迹是实半轴长为、虚半轴长为且焦点在轴上的双曲线在第一象限内的一部分（包括上顶点）……6′
（Ⅱ），.
假设存在两点、，使得（、），即.
∴，又
∴，即有两非负实数根.…10′
∴
故当时，存在适合条件的两点。……13′

21．（本小题满分14分）
设是正项数列的前项和，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等比数列，使对
一切正整数都成立？并证明你的结论；
（Ⅲ）设（），且数列的前项和为，试比较
与的大小。
【解】（Ⅰ）∵.
∴当时，，注意，解得：.
当时，
化简：，∴.
∵，∴，∴是首项为、公差为的等差数列。
∴……4′
（Ⅱ）假设存在适合条件的等比数列，则时，，得：；
时有：，即，∴.
猜想：，使对都成立。…7′
下面证明.
设.
则
两式相减得：
……10′
（Ⅲ）∵，
∴
.……14′