【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第28讲 结论开放的探索性问题（含详解）.doc

结论开放的探索性问题

题型预测

探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．
结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．

范例选讲

例1．设f(x)是定义域为R的一个函数，给出下列五个论断：
①f(x)的值域为R；
②f(x)是R上的单调递减函数；
③f(x)是奇函数；
④f(x)在任意区间[a,b](a<b)上的最大值为f(a)，最小值为f(b)，且f(a)>f(b)；
=5\*GB3⑤f(x)有反函数．
以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如：=5\*GB3⑤①），至少写出你认为正确的三个命题：.
讲解：本题考察对于函数性质的理解．
根据单调性的定义，不难知道：②⑤等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：②⑤；④⑤；②④（或④②）．
进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题．

例2．已知是实数，给出下列四个论断：
（1）；（2）；
（3）；（4）
以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．
__________________________________．
讲解 本题考查不等式的性质．
显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：同号．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）．
点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．

AB

CD
A1B1

C1D1
例3．如右图，在正方体中，写出过顶点A的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）．
_____________________________
讲解：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可．
正方体是我们较为熟悉的基本图形，不难知道：面ADB1即符合条件（与BA、BD、BB1所成角相等）．

例4．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）．

讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．
由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为．
作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．
由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．
如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．
如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．
综上，共3种情况．如图：

其体积分别为：．
点评：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略．如何能够跳出题海，事半功倍，关键是找到好的切入点．从本题来说，一方面当然要最快找到一个可能的结果，另一方面，对于这种具有多重结果的结论开放性试题，抓住条件中那些影响结果的动态因素，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．

例5．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）组合数的两个性质：①；②
是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）我们知道，组合数是