高三数学（理）复数的概念、复数的向量表示人教版 知识精讲.doc

高三数学（理）复数的概念、复数的向量表示人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法

二.本周教学重、难点：
1.形如（）的数叫做复数，其中是虚数单位，。把复数的形式叫做复数的代数形式。记作（）。当且仅当时，为实数；当且仅当时，；当时，叫做虚数；当，且时，叫纯虚数；与分别叫做复数的实部和虚部。
2.如果两个复数的实部和虚部分别相等这两个复数相等。即如果，那么，
3.，，则有：

4.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。设，（）
加减法：
乘法：
除法：
5.复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律，实数的正整数指数幂也能推广到复数集中，即
，
（）
6.（1）
其中
（2）常用的性质解题。
；；，，则
（），（）

【典型例题】
[例1]实数分别取什么数值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应点在轴上方？（5）对应点在直线上。
解：
（1）由，得知或时，为实数
（2）由，得知且时，为虚数
（3）由得知时，为纯虚数
（4）由，得知或时，的对应点在轴上方
（5）由，得知或

的对应点在直线上。

[例2]已知关于的方程组
有实数解，求实数的值。
解：由（1）得解得
代入方程（2），得
∵∴解得

[例3]已知复数（）满足或，求的值（或范围）。
解：∵或∴为纯虚数
由纯虚数概念知解得
∴满足条件的的值为2

[例4]设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）（2）
解：
（1）复数的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆。
（2）不等式，可化为不等式组不等式的集合是圆内部的所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合。点Z的集合是以原点O为圆心，以2与4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界。

[例5]若，且，求的最小值。
解法一：∵即的几何图形是以C（）为圆心，以1为半径的圆。是圆C上的一点P到点A（2，2）的距离，如下图所示，连接AC交圆右侧于P

则的距离最小
∴最小值是3
解法二：代数法，设（）
∴
即
又∵
而，即
∴在时，取最小值3

[例6]已知关于的方程（）有实数根
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，求为何值时，有最小值，并写出的值。
解：
（1）∵是方程（）的实根
∴
故解得
（2）设，由，得
即∴Z点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
如下图所示，当Z点在的连线上时，有最大值或最小值
∵，半径
∴当时，最小值

[例7]设复数，若，求的值。
解：设
由，得
∴∴或
∴
∵∴
即
∴

[例8]复数满足，求。
解：设，则
整理得
解得
∴

[例9]设，，当时，求的取值范围。
解：

∴
又∵
∴
由二次函数的性质知

[例10]设复数满足，且，求与。
解：由题意有，得
又，故可得
所以的实部等于的实部等于
又，故的虚部为，

于是
所以或
所以或

【模拟试题】
一.选择题
1.方程的根是（）
A. B. C.或 D.以上都不对
2.的值是（）
A. B. C. D.
3.等于（）
A. B. C. D.
4.计算的结果是（）
A. B. C. D.
5.在复数集C内分解因式等于（）
A.
B.
C.
D.
6.的值为（）
A.0 B.1024 C. D.
7.等于（）
A. B. C. D.2
8.满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）
A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆

二.解答题
1.（1）计算；（2）求的展开式中所有奇数项的和。
2.已知，，，且为纯虚数，求。
3.复数且，对应的点在第一象限，若复数0，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值。

【试题答案】
一.选择题
1.C解析：，∴或
2.A
3.B解析：
4.D
5.B
6.A解析：
7.D解析：
8.C解析：可设转化为实数解决或直接利用复数的几何意义。
法一：设，则原方程变为，即
∴Z点的轨迹是以（0，1）为圆心，以5为半径的圆
法二：原方程即为
由复数几何意义知，它表示（0，1）为圆心，5为半径的圆，故选C。

二.解答题
1.
思路点拔：按复数乘法与除法的法则展开运算，这种基本运算要熟练掌握，同时注意一些运算技巧。
解：（1）原式

（2）∵
∴的展开式中奇数项之和为复数的实部
又
∴的展开式中各奇数项的和为
2.
解：设，由，得①
∵为纯虚数
∴②
由①②得或
∴或
3.
解：
由，得①
∵复数0，对应的点构成正三角形∴
把代入化简并结合①得，得②
又∵点在第一象限∴，
由①②得，故所求值为，