高三数学解题方法谈：例谈共点、共线、共面问题.doc

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例谈共点、共线、共面问题
平面的基本性质是研究立体几何的基础，其中共线、共点、共面问题是立体几何中一类不可忽视的问题，为了使同学们很好的掌握这部分内容，本文就些问题加以例析，以供参考．
一、共线问题
证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．

例1 如图1，正方体中，与截面交点，交点，求证：三点共线．
证明：连结，平面，且平面，
是平面与平面的公共点．
又平面．
平面．
也是平面与平面的公共点．
是平面与平面的交线．
为与截面的交点，
平面平面，即也是两平面的公共点．
，即三点共线．
二、共点问题
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．

例2如图2，已知空间四边形分别是的中点，分别是上的点，且，求证：相交于同一点．
证明：分别是的中点，
，且．
又，
，且．
，且．
四边形是梯形，其两腰必相交，设两腰相交于一点，
平面平面，
平面平面，
又平面平面．
故相交于同一点．
三、共面问题
证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．
例3 如图3，设分别为正方体的棱的中点，求证：共面．

证明：如图3，连结．
分别为的中点，．
．
分别为的中点，．
四边形为平行四边形．
．．
因此，直线可确定一个平面．
同理，由可知，直线确定一个平面．
过两条相交直线有且只有一个平面，
与重合，即．
同理可证．
因此，共面．