北京市西城区2009届高三一模（数学理）.doc

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北京市西城区2009届高三4月抽样测试
高三数学试卷（理科）2009.4

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

题号

分数一二三总分151617181920第Ⅰ卷(共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知全集，集合，那么集合等于（）
A.B.
C.D.
2.设i是虚数单位，复数i，则等于（）
A.iB.i
C.iD.i

3.若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）
A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列
C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列
4.设a为常数，函数.若为偶函数，则等于（）
A.-2B.2
C.-1D.1
5.已知直线a和平面，那么的一个充分条件是（）
A.存在一条直线b，B.存在一条直线b，
C.存在一个平面D.存在一个平面
6.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（）
A.B.
C.D.
7．设R， 且，，则()
A.B.
C.D.
8.函数f(x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.
设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3).
则等于（）
A.B.
C.1D.

北京市西城区2009年抽样测试
高三数学试卷（理科）2009.4

第Ⅱ卷(共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9.的值等于___________.
10.的展开式中的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)
11.不等式的解集为_____________.
12.设O为坐标原点，向量.将绕着点按逆时针方向旋转得到向量,则的坐标为____________.
13.给出下列四个函数：
①；②；
③；④.
其中在上既无最大值又无最小值的函数是_________________.（写出全部正确结论的序号）
14.已知函数由下表给出：
01234其中等于在中k所出现的次数.
则=______________；___________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.
（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）设为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.

16.（本小题满分12分）
OAx
B
y
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2,设.
（Ⅰ）用表示点B的坐标及；
（Ⅱ）若，求的值.

17.（本小题满分14分）
AB
DC
P
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，又
.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.

18.（本小题满分14分）
设R，函数.
（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求a的值；
（Ⅱ）当a<1时，讨论函数的单调性.

19.（本小题满分14分）
已知椭圆C，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且(O为坐标原点).求当时，实数的取值范围.

20.（本小题满分14分）
设，对于有穷数列(),令为中的最大值，称数列为的“创新数列”.数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”.例如数列的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.
考察自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.
（Ⅰ）若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列；
(Ⅱ)是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列中，求它们的首项的和.

北京市西城区2009年抽样测试参考答案
高三数学试卷（理科）2009.4
题号12345678答案CBABCCDA一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.10.10，24311.12.13.eq\o\ac(○,2)eq\