2008高考数学复习 函数与方程思想.doc

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2008高考数学复习函数与方程思想
【知识要点】
1.应用函数与方程思想解决数列,不等式,圆锥曲线等方面的问题.
2.应用函数与方程思想解决有关的实际问题.
【典型例题精析】
例1.已知集合,.如果,求实数的取值范围.
解：由,得=1\*GB3①
∵,∴方程=1\*GB3①在区间上至少有一个实根.
由,得.
当时,由及知,方程=1\*GB3①只有负根,不符合要求.
当时,由及知,方程=1\*GB3①只有正根,且必有一根在区间内,从而方程=1\*GB3①至少有一个实根在区间内.
综上所述,的取值范围是.
例2.设等差数列的前项的和为,已知,.
(1)求公差的取值范围；
(2)指出中哪一个值最大,并说明理由.
【分析】第(1)问利用公式与建立不等式,容易求解d的范围；
第(2)问利用是的二次函数,将中哪一个值最大,变成求二次函数中为何值时取最大值的函数最值问题.
解：(1)由,得到,
所以,
,
解得:.
(2)
,
因为,故最小时,最大.由
得6<,故正整数时最小,
所以最大.
【点评】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题.也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快.由次可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性.
例3.设,如果当时有意义,求实数的取值范围.
【分析】当时,有意义的函数问题,转化为
在上恒成立的不等式问题.
解:由题设可知,不等式在上恒成立,
即：在上恒成立.
设,则,又设,其对称轴为,
∴在上无实根,即,得.
所以的取值范围是.
【点评】对于不等式恒成立问题,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想.一般地,我们在解题中要抓住二次函数及其图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化.
例4.求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
解：当直线斜率不存在时,直线方程为,直线与抛物线相切,符合条件.
当直线斜率存在时,设直线方程为,
由方程组消去得=1\*GB3①
∵直线与抛物线只有一个公共点,∴方程=1\*GB3①只有一个实根.
若,则方程=1\*GB3①为,解得,∴,
此时直线方程为,直线与抛物线只有一个公共点,符合条件.
若,由直线与抛物线只有一个公共点,得,
∴,所求直线方程为.
综上所述,所求直线方程为或或.
例5.如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任一点,设
∠,,求异面直线和的距离.
【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值.
PMAHBDC
解：在上任取一点,作⊥于D,⊥于,
设,则⊥平面,⊥.
∴

即当时,取最小值为两异面直线的距离.
【点评】本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”.一般地,对于求最大值、最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答.比如再现性题组第8题就是典型的例子.
例6.设计一幅宣传画,要求画面积为,画面的宽与高的比为,画面的上,下各留空白,左,右各留空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用纸张面积最小？
解:设画面的高为,则画面的宽为,所用纸张的面积为,
由题设,得,
,
∴当且仅当,即时取等号,此时.
∴当画面高为,宽为时,所用纸张面积最小.
【当堂反馈】
1.已知函数有反函数,则方程（B）
A.有且仅有一个实根B.至多有一个实根
C.至少有一个实根D.没有实根
2.方程至少有一个负根的充要条件是（C）
A.B.C.D.
3.对于满足的一切实数,不等式恒成立,则的取值范（B）.
A.B.
C.D.
4.已知是方程的根,是方程的根,那么所在的区间为（C）
A.B.C.D.
5.设,若对应于的曲线段位于轴的上方,则满足（D）
A.B.
C.D.
6.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是（C）
A.B.
C.D.
7.已知,且满足,则的值为（C）
A.B.C.D.
8.如果函数对于任意实数,都有,那么(A)
A.B.
C.D.
9.已知函数,当时,函数的最小值是________.
10.若正数满足,则的取值范围是________.
11.设函数,给出下列命题：=1\*GB3①时,只一个实根；=2\*GB3②时,是奇函数；=3\*GB3③的图