2007年上学期上海市高三数学理科十校联考试卷.doc

2007年上海市高三数学十校联考试卷（理科）（解答）
(南模、复兴、上外、复旦附中、延安、华东师大二附中、上海、上师大附中、交大附中、向明)
一、填空题：
1、若集合，集合，则。
2、函数的反函数的定义域是。
3、已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么。
4、化简：。
5、已知，以为边作平行四边形，则与的夹角为。
6、在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是。
7、正方体中，与异面，且与所成角为
的面对角线共有条。
8、曲线的长度是。
9、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。
10、一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为和，则下午5时该点的坐标是。
11、若对任意实数都有

，则。
12、对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是。
二、选择题：
13、若角和的始边都是轴的正半轴，则是两角终边互为反向延长线的（A）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
14、函数（A）
（A）在上单调递增（B）在上单调递增，在上单调递减
（C）在上单调递减（D）在上单调递减，在上单调递增
15、2005年1月6日《文汇报》载当日我国人口达到13亿，如图为该报提供的我国人口统计数据。2000年第五次全国人口普查后，专家们估算我国人口数的峰值为16亿，如果我国的人口增长率维持在最近几年的水平，那么，我国人口数大致在年左右达到峰值。（B）
16、定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有三个解；
（2）方程有且仅有三个解；
（3）方程有且仅有九个解；
（4）方程有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是（B）
（A）1（B）2（C）3（D）4
三、解答题：
17、在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述。如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由。
解：由愿意得

即三个振动源产生的振动被相互抵消，所以，原本平静的水面仍保持平静。
18、解关于的不等式
解：，∵，∴
若，则，即；若，则；
若，则，即；若，则。
19、过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用表示A，B之间的距离；
（2）证明：的大小是与无关的定值，并求出这个值。
解：（1）焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是
由
(或)
（2）

∴的大小是与无关的定值，。
20、一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示。
（1）求与平面所成角的大小及
面与面所成二面角的大小；
（2）求此多面体的表面积和体积。
解：（1）由已知图可得，平面平面，取中点，连接，
在等腰中有，则平面，是与平面所成角，
，∴
取中点，连接，同理有平面，即是在
平面内的射影，在中，，
又，设面与面所成二面角的大小为，则
∴面与面所成二面角的大小为。
（2）此多面体的表面积
此多面体的体积
21、已知数列有，（常数），对任意的正整数，，并有满足。
（1）求的值；
（2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有，且，则称为数列的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”。
解：（1），即
（2）
∴是一个以为首项，为公差的等差数列。
（3），
∴

又∵，∴数列的“上渐近值”为。
22、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长的最小值；
（2）若三角形有一个内角为，周长为定值，求面积的最大值；
（3）为了研究边长满足的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：

而，则，但是，其中等号成立的条件是
，于是与矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值。
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。
（注：称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）
解：（1）设直角三角形两直角边长为、，斜边长为，则
∴两直角边长为时，周长的最小值为。
（2）设三角形中边长为、的两边所夹的角为，则周长
∴，即
又，∴面积的最大值为。
（3）不正确。

而，则，
其中等号成立的条件是，则
∴当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值。
（