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解析函数(组)的非正则型Hilbert边值问题
一、引言
Hilbert空间及其相关边值问题理论应用广泛，特别是在偏微分方程的研究中，起到非常重要的作用。在一些场合，函数(组)可能不满足正则性条件，因此，非正则型Hilbert边值问题也就出现了。本文将结合具体问题和实例，探讨解析函数(组)的非正则型Hilbert边值问题。
二、基本理论
1.Hilbert空间
Hilbert空间是关于内积定义的完备的实或复向量空间。其中内积有以下几个常见属性：
1.正定性：对于所有非零向量x，有(x,x)>0。
2.线性性：对于任意向量x、y和标量a、b，有(a*x+b*y,z)=a*(x,z)+b*(y,z)。
3.可对称性：对于所有向量x和y，有(x,y)=(y,x)。
4.连续性：对于所有向量x，有(x,x)<∞。
2.非正则型Hilbert边值问题的定义
设H为Hilbert空间，L为差分算子，则非正则型Hilbert边值问题可以表示为：
⎧
⎪Lu=f(x)x∈Ω
⎪
⎪U(x)=g(x)x∈∂Ω
⎨
⎪
⎪U^m(x)=h^m(x)m=0,…,m_0-1
⎪
⎩
其中，f、g、h^m都是给定的函数。U(x)是解析函数(组)，m_0是边界值个数，U^m(x)表示U(x)在x处的m阶导数。非正则型Hilbert边值问题的关键在于函数(组)U(x)不满足正则性条件，即导数不是一般意义下的导数，需要找到适当的定义来满足求解。
三、解法
1.投影方法
投影方法是将非正则函数U(x)投影到正则函数空间中进行求解的方法。具体做法是先将U(x)展开成正则函数之和：
U(x)=∑i=1∞u_iφ_i(x)
其中，φ_i(x)是正则函数，u_i是展开系数。然后将展开系数u_i作为目标函数，定义平均误差平方为目标函数的误差度量，再对误差达到最小的保真展开系数u_i进行求解即可。
2.伪逆算子
假设非正则函数(组)U(x)满足以下条件：
(i)U(x)可表示为仅有有限项的级数。
(ii)U(x)的导数关于边界点满足定义。
则可以构造满足伪逆算子条件的线性算子A^+，使得非正则函数(组)U(x)与满足A^+U=A^2U=A的正则函数(组)U^+一一对应。这样，我们就可以用伪逆算子A^+对非正则函数(组)U(x)进行求解，具体做法是将U(x)变形为正则函数(组)U^+(x)，然后使用一般偏微分方程解法即可。
3.Aumann积分算子
Aumann积分算子可以将非正则函数(组)U(x)写成正则函数(组)u(x)的对应形式，其实质是利用广义积分的概念。Aumann积分算子的定义为：
F(U(x))=∫_0^Tf(t,U(t),U'(t))dt
其中，T是时间长度，f是定义在纵坐标为U(t)、横坐标为t的函数，U(t)是非正则函数(组)。对于每一个非正则函数(组)U(x)，都有一个对应的正则函数(组)u(x)与之对应，根据Aumann积分算子定义，有：
u(x)=F(U(x))
将U(x)带入上式中，利用一般的偏微分方程解法，即可求解非正则型Hilbert边值问题。
四、案例分析
以一个具体的例子来说明解析函数(组)的非正则型Hilbert边值问题的求解方法。考虑下面的求解问题：
⎧
⎨-u''(x)=f(x)(x∈(0,1))
⎩u(0)=u(1)=0
其中，f(x)=sin(x)。根据上面讨论的方法，可以采用投影方法进行求解，具体过程如下：
(1)设展开系数u_i为待求解的目标函数。
(2)将U(x)按正交基展开：
U(x)=∑i=1∞u_iφ_i(x)
其中φ_i(x)为拉格朗日多项式，u_i为展开系数。
(3)引入平均误差平方作为目标函数的误差度量：
J(u)=[∫_0^1(f(x)+u''(x))^2dx]^1/2
其中，u''(x)可用拉格朗日多项式的导数表示。
(4)使用正则化方法，得到目标函数：
J(u)=u^TAu-2g^Tu+k
其中A为正交基的内积矩阵，g为正交基与目标函数之间的内积向量，k为一个常数。
(5)求解目标函数J的最小值，得到展开系数u_i的值。
(6)将展开系数u_i代入展开式中，即得到解析函数(组)U(x)的近似解。
对于这个例子来说，上述方法可以给出比较精确的近似解，表明上述方法是较为可行的。
五、结论
解析函数(组)的非正则型Hilbert边值问题在偏微分方程研究中应用广泛。本文从理论和实例出发，探讨了非正则型Hilbert边值问题的求解方法，包括投影方法、伪逆算子、Aumann积分算子等。这些方法对于解决实际工程问题都具有一定的参考价值，可以提供一种新的思路和方法，对于提高工程实践的效率和精度，具有一定的实用价值。