正合范畴上的广义Auslander-Reiten对偶与由对象决定的态射.docx

正合范畴上的广义Auslander-Reiten对偶与由对象决定的态射
正合范畴上的广义Auslander-Reiten对偶与由对象决定的态射
引言：
正合范畴是一个广泛应用于代数学、几何学和数学物理学等领域的数学概念。广义Auslander-Reiten对偶是其中的一种重要结构，它与由对象决定的态射密切相关。本文将介绍正合范畴、广义Auslander-Reiten对偶以及由对象决定的态射，并探讨它们之间的联系。
一、正合范畴的定义与性质
正合范畴是一个具有一些特殊性质的范畴。一个范畴是正合的，如果它满足以下三个条件：
1.范畴有一个零对象，即存在一个对象使得对于任意的对象A，存在唯一的零态射从零对象指向A；
2.范畴中的任意两个对象A和B的直和存在，即存在一个对象C和两个态射i:A→C和j:B→C，使得对于任意的对象D和态射f:A→D和g:B→D，存在唯一的态射h:C→D使得fh=gi；
3.范畴中的任意两个对象A和B的张量积存在，即存在一个对象C和乘法态射m:A×B→C以及两个投影态射p1:C→A和p2:C→B，使得对于任意的对象D和态射f:A→D和g:B→D，存在唯一的态射h:C→D使得fp1=gh。
二、广义Auslander-Reiten对偶的定义
在正合范畴中，一般存在很多对象和态射的组合。广义Auslander-Reiten对偶是理解这些组合的一种重要工具。给定一个对象A和一个态射f:A→A，广义Auslander-Reiten对偶构造了一个双向的序列或图形，其中每个节点表示一个对象，每个箭头表示一个态射，并且满足以下条件：
1.对每个对象X，存在一个与X对偶的对象X'；
2.对每个态射f:A→A，存在一个与f对偶的态射f':A'→A'；
3.对于每个态射f:A→A'和g:B→B'，如果存在一个态射h:A'→B使得hf=gh'，则存在一个态射h':B'→A使得h'f'=g'h；
4.对于每个态射f:A→A'，如果f不是单态射，则f'不是满态射；
5.对于每个态射f:A→A'，如果f不是满态射，则f'不是单态射。
三、由对象决定的态射
由对象决定的态射是一个广义Auslander-Reiten对偶的重要概念。在一个正合范畴中，给定两个对象A和B，可以定义由A决定的B对象上的态射的集合Hom(A,B)。这个集合中的元素被称为“由A决定的B对象上的态射”。由对象决定的态射具有以下重要性质：
1.如果A≠B，那么Hom(A,B)是一个零态射的集合；
2.对于任意的对象C，Hom(C,A×B)和Hom(C,A)×Hom(C,B)是同构的；
3.如果A≠B，那么Hom(A,B)≅0。
四、广义Auslander-Reiten对偶与由对象决定的态射的联系
广义Auslander-Reiten对偶和由对象决定的态射是相互紧密关联的。给定一个正合范畴和两个对象A和B，广义Auslander-Reiten对偶可以用于展示由A决定的B对象上的态射的重要性质。同时，由对象决定的态射也可以用于构造广义Auslander-Reiten对偶序列或图形中的节点和箭头。这种双向的关联能够帮助我们更好地理解和解释正合范畴中的对象和态射的组合。
结论：
正合范畴上的广义Auslander-Reiten对偶与由对象决定的态射是相互依赖的概念。广义Auslander-Reiten对偶提供了一种展示由对象决定的态射性质的方法，而由对象决定的态射可以用于构造广义Auslander-Reiten对偶序列或图形中的节点和箭头。这种关联为我们进一步研究和了解正合范畴的结构和性质提供了有力的工具。在将来的研究中，我们可以进一步探索广义Auslander-Reiten对偶与由对象决定的态射之间的联系，并应用于更广泛的数学领域中。
参考文献：
1.Auslander,M.,Reiten,I.,&Smalø,S.O.(1997).RepresentationtheoryofArtinalgebras(Vol.36).CambridgeUniversityPress.
2.Happel,D.(2006).Triangulatedcategoriesintherepresentationtheoryoffinite-dimensionalalgebras(Vol.119).CambridgeUniversityPress.