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基于模糊区间的Minimax规则下的证券投资组合模型
基于模糊区间的Minimax规则下的证券投资组合模型
摘要
证券投资组合是投资者进行投资决策的核心问题。然而，由于市场不确定性和风险的存在，构建一个具有稳定性和收益的投资组合是一个具有挑战性的问题。本文提出了一种基于模糊区间的Minimax规则下的证券投资组合模型，该模型着重考虑了投资者的风险偏好以及市场不确定性的影响，并以此提高了投资组合的收益和稳定性。在模型应用实例中，我们发现该模型具有较好的实用性和准确性。
关键词：证券投资组合，模糊区间，Minimax规则，风险偏好，市场不确定性。
1、引言
证券投资组合是指将资金分散投资于多种证券之中，以实现收益最大化和风险最小化的一种投资方式。然而，在实际投资过程中，由于市场不确定性和风险的存在，构建一个具有稳定性和收益的投资组合是一个具有挑战性的问题。因此，如何选择适当的证券、降低投资组合的风险、提高收益成为了投资者极为关注的问题。
当前，模糊数学和随机变量理论是研究投资组合问题的主要方法。基于随机变量理论的投资组合问题模型在实践中被广泛应用，然而，该方法不足之处在于其假设随机变量的概率分布是已知的，而这在实际应用中并不总是成立。基于模糊数学的投资组合问题模型，可以通过描述风险因素的模糊程度来更好地适应市场不确定性和风险的存在，因此得到了广泛应用。但是，大多数现有的模糊数学模型忽略了投资者的风险偏好，这使得投资组合的收益和稳定性受到一定的影响。
为了更好地解决证券投资组合问题，本文提出了一种基于模糊区间的Minimax规则下的证券投资组合模型。该模型在考虑市场不确定性和投资者风险偏好的基础上，利用Minimax规则来构建最优投资组合，从而提高了投资组合的收益和稳定性。
2、模型建立
2.1、模糊区间概念
模糊区间是指在具有界限的空间中，模糊量可取值的一组区间，例如“温度在25℃到30℃之间”，其中25℃和30℃都是具有界限的数值，而这两个数值之间的温度值是模糊的。模糊区间模型在实际应用中具有良好的适应性和实用性，因为它可以更好地描述实际问题中存在的模糊性和不确定性。
2.2、模型假设
（1）假设市场的收益率是一个模糊区间，而不是一个确定值。
（2）假设投资组合的收益是由各证券收益的加权求和得到的，各证券收益也是模糊的。
（3）假设投资者的风险偏好是模糊的。
2.3、模型建立
（1）定义随机变量：
假设市场的收益率为X=[x1,x2]，其中x1表示最小收益率，x2表示最大收益率。我们可以将该收益率视为一个随机变量，其概率分布函数为：
f(x)=1/(x2-x1)，x∈X
（2）定义投资组合：
假设投资者将资金分散投资于n种证券之中，称为投资组合，第i种证券的收益率为r=[ri1,ri2]（i=1,2,…,n）。我们将这些收益率视为随机变量，并定义它们的概率分布函数为：
f(ri)=1/(ri2-ri1)，ri∈r(i=1,2,⋯,n)
投资组合的收益可以表示为：
R=∑wiri，i=1,2,…,n
其中，wi表示第i种证券所占的权重，满足以下条件：
∑wi=1，wi≥0，i=1,2,…,n
（3）定义收益和风险的模糊指标：
用U(R)来表示投资组合的收益，用V(R)来表示投资组合的风险。根据模糊区间的思想，我们可以将U(R)、V(R)分别定义如下：
U(R)=[u1,u2]，V(R)=[v1,v2]
其中，u1、u2是投资组合可能实现的最小和最大收益，v1、v2是投资组合可能实现的最小和最大风险，它们均为模糊区间。
为了表示投资者的风险偏好，我们引入了三个参数a、b、c。根据投资者的个人喜好，可以设置这些参数，根据以下公式计算出U(R)、V(R)：
u1=min(ri1)，u2=max(ri2)，
v1=b∗min(ri2-ri1)+c∗max(wi)，
v2=a∗max(ri2-ri1)+c∗max(wi)
其中a、b和c是投资者自我设定的系数。c表示投资组合的最大权重，一旦超过该权重，被认为是高度风险的投资组合。a和b表示投资者对于投资组合风险和收益的偏好程度。
（4）构造模型
假设有m个样本（或数据），其中每个样本对应一个投资组合，其收益和风险分别为R1、R2、…、Rm和V1、V2、…、Vm。我们可以将该问题看作是一个标准化模糊决策问题，我们需要通过最小化最大风险，来选择一个最优的投资组合。
根据Minimax规则，投资组合的选择需要满足以下两个条件：
min{max(v(Ri))|i=1,2,…,m}
∑wi=1，wi≥0，i=1,2,…,n
条件1表示我们要选择一个投资组合，其最大风险不能超过所有样本中的最小值。条件2表示我们必须在所有证券中分配资金，且权重必须为正。
我们可以将上述条件转化为以下数学表达式：
θ=mi