高中数学 第三章 统计案例 3.doc

3.1回归分析的基本思想及其初步应用
第二课时
教学目标
知识与技能
从相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤．
过程与方法
在发现直接求回归直线方程存在缺陷的基础上，引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R2来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．
情感、态度与价值观
通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，掌握处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神．培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．教学中适当地利用学生的合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性．
重点难点
教学重点：从残差分析、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；
教学难点：了解评价回归效果的两个统计量：相关指数、残差和残差平方和．
eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))
eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新课))
(幻灯片)
编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359上表是上一节课我们从某大学选取8名女大学生其身高和体重数据组成的数据表，在上一节课中我们通过数据建立了回归直线方程，并根据方程预测了身高为172cm的女大学生的体重．当时，我们提到根据回归直线方程求得的体重数据，仅是一个估计值，其与真实值之间存在着误差，为了综合分析身高和体重的关系，我们引入了线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示两变量之间的关系，其中e为随机变量，又称随机误差．线性回归模型y＝bx＋a＋e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定．假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上．但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上．这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了，即自变量x只能解释部分y的变化．
同学们考虑一下，随机变量e的均值是多少？方差又是多少？
活动设计：学生思考回答问题．
学情预测：学生回答E(e)＝0，D(e)＝σ2>0.
教师提问：能否通过D(e)来刻画线性回归模型的拟合程度？
学情预测：随机误差e的方差越小，通过回归直线预报真实值y的精度越高．随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差．
设计意图：说明研究随机误差e的必要性，通过研究随机误差e可以分析预报值的可信度．
提出问题：既然可以用随机变量e的方差来衡量随机误差的大小，即通过方差σ2来刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与随机误差有关，那么如何获得方差σ2呢？
学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．
活动结果：可以采用抽样统计的思想，通过随机变量e的样本来估计σ2的大小．
设计目的：复习抽样统计思想，以便通过随机变量e的样本来估计总体．
eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知))
提出问题：既然e表示了除解释变量以外其他各种影响预报值的因素带来的误差，那么如何获得e的样本来计算σ2呢？
学生活动：分组合作讨论交流．
学情预测：由函数模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和回归模型y＝bx＋a＋e可知e＝y－eq\o(y,\s\up6(^))，这样根据图表中女大学生的身高求出预报值，再与真实值作差，即可求得e的一个估计值．
教师：由于在计算回归直线方程时，利用公式求得的eq\o(b,\s\up6(^))和eq\o(a,\s\up6(^))为斜率和截距的估计值，它们与真实值a和b之间存在误差，因此eq\o(y,\s\up6(^))是估计值，所以eq\o(e,\s\up6(^))＝y－eq\o(y,\s\up6(^))也是一个估计值．
由上可知，对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为
ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…n，称其估计值eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i为相应于点(xi，yi)的残差．将所有残差的平方加起来，即eq\i\su(i＝1,n,e)eq\o(,\s\up6(^))eq\o\al(2,i)，这个和称作残差平方和．
类比样本方差估计总体方差的思想，可以用
eq\o(σ,\s\up6(^))2＝eq\f(1,n－2)eq\i\su(i＝1,n,e)eq\o(,\s\up6