苏教版高中数学必修5正弦、余弦定理的应用1.doc

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正弦、余弦定理的应用
教学目标
（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；
（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；
（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点，难点
（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；
（2）掌握求解实际问题的一般步骤．
教学过程
一．问题情境
1．复习引入
复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，
（1）正弦定理、三角形面积公式：
；
．
（2）正弦定理的变形：
①；
②；
③．
（3）余弦定理：．
二．学生活动
引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.
三．建构数学
正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.
1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：
（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.
（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.
（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.
（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.
2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.

四．数学运用
1．例题：
例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
解：在中，，，则.又，由正弦定理，得
图1-3-1
.
在中，，，
则.又，由正弦定理，得
.
在中，由余弦定理，得

，
所以
答两点之间的距离约为.
本例中看成或的一边，为此需求出，或，，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，，再由余弦定理求.
引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.可见习题1.3探究拓展第8题.
例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
图1-3-2
，
解得（负值舍去）.
由正弦定理，得
，
所以，方位角为.
答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.
例3．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
解：设，船的速度为，则，.
（例3）
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，，
船的速度.

五．回顾小结：
1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.
2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.