初三数学二次函数的图象与性质知识精讲 湘教版试卷.doc

初三数学二次函数的图象与性质知识精讲
一.本周教学内容：
二次函数的图象与性质

教学要求：
（一）知识与技能要求
1.知道二次函数的图象是抛物线，并且知道抛物线的顶点
2.通过“列表、描点、连线”三步作二次函数y＝ax2，y＝a（x＋d）2，y＝a（x＋d）2＋k，y＝ax2＋bx＋c的图象
3.能说出上述抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向
4.能根据二次函数的图象说明函数值随自变量取值的变化而升或降的性质
5.知道抛物线的顶点坐标与抛物线的最大值（最小值）之间的关系，并能依据抛物线的开口方向确定抛物线的最值

（二）过程与方法要求
1.经历探索二次函数y＝ax2，y＝a（x＋d）2，y＝a（x＋d）2＋k，y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程
2.体会数形结合的思想

（三）情感态度与价值观要求
1.积极投入到探索活动中，勇于发表个人意见。
2.数学活动中充满着探索性，通过认识、观察、归纳、类比可以获得数学猜想

二.重点、难点
重点：
1.二次函数y＝ax2（a≠0）的性质
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移规律
3.求二次函数的最大值或最小值
难点：二次函数的性质的应用

三.主要内容：
（一）y＝ax2（a≠0）的图象及性质
1.二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线
当a>0时，抛物线开口向上，且向上无限伸展
a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限伸展
2.二次函数y＝ax2的性质
对称轴是y轴，顶点在原点处
a>0，开口向上；a<0，开口向下

（二）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
1.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2向上（下）平移得到
当k>0时，抛物线y＝ax2向上平移|k|个单位，得y＝ax2＋k
k<0时，抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位，得y＝ax2＋k
2.二次函数y＝a（x＋d）2的图象由抛物线y＝ax2向左（右）平移
当d>0，抛物线y＝ax2向左平移|d|个单位，得y＝a（x＋d）2
d<0，抛物线y＝ax2向右平移|d|个单位，得y＝a（x＋d）2
3.一般地，抛物线y＝a（x＋d）2＋k与y＝ax2的形状相同，只是位置不同。如：

4.二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c与顶点式y＝a（x＋d）2＋k可以互相转化。如：

也可将一般形式配方成顶点式。如：

5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及画法
可先将二次函数y＝ax2＋bx＋c配方

画图象时应先配方，找出顶点坐标和对称轴，再在对称轴两旁取点，列表，描点画图。
6.二次函数的性质
将二次函数的有关性质及对应图象的草图列成表格如下：

例1.
（1）满足条件的m值
（2）m为何值时，抛物线有最低点，求出这个最低点，这时当x为何值时y随x的增大而增大？
（3）m为何值时函数有最大值，最大值是多少？这时当x为何值时y随x增大而减小？
分析：略
解：（1）由题意得：

解得m＝2或m＝－3
∴当m＝2或m＝－3时原函数为二次函数。
（2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上

∴m＝2
最低点是抛物线的顶点，其坐标为（0，0）
∴当x>0时，y随x的增大而增大
（3）若抛物线有最大值，则抛物线的开口向下

∴m＝－3
∵最大值是抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为（0，0）
∴当m＝－3时，抛物线有最大值0
此时x>0时，y随x的增大而减小

例2.已知二次函数y＝x2＋4x＋5，将所给的二次函数化为y＝a（x－h）2+k的形式，指出其顶点坐标及对称轴，并说明如何平移才能得到抛物线y＝x2。
分析：略
解：将抛物线配方

∴顶点坐标为（－2，1），对称轴为直线x＝－2
将抛物线y＝x2＋4x＋5
向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得y＝x2

例3.
分析：略
解：（1）先将函数配方

∴顶点坐标为（6，3），对称轴为直线x＝6
（2）利用二次函数的对称性列表：

（3）描点，连线，即可。

例4.
（1）求m的值，并判断抛物线的开口方向。
（2）抛物线是否与x轴相交？如果相交试求出其交点坐标。
分析：略
解答：（1）∵抛物线的对称轴是x＝2

解得m＝2
检验m＝2是分式方程的根，且m－1≠0
∴m＝2，m－1>0
抛物线开口向上

解得：x1＝1，x2＝3
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0）（3，0）

例5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点

分析：求A、B两点坐标是解决问题的关键，利用几何知识求线段OA、OB的长即可。
解：如图，在△ABC中

∴AO＝4
∴抛物线与x轴两个交点为A（－4，0），B（1，0）
设此二次函数解析式为
将点C（0，2）代入得：

或设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0