初中数学巧用增根的性质解题学法指导学法指导试卷.doc

初中数学巧用增根的性质解题

我们知道，在解分式方程时可能会产生增根，分式方程的增根是由于把分式方程化为整式方程时，方程两边所乘的最简公分母为零造成的，因此分式方程的增根具有以下两条性质：（1）能使分式方程的最简公分母为零；（2）是由分式方程化成的整式方程的根。巧用分式方程的增根的性质，可以帮助我们对一些题目顺利的解答。

例1.若关于x的方程有增根x=2，求m的值。
分析：既然原分式方程有增根x=2，所以x=2是原分式方程通过去分母之后所化成的整式方程的根，于是把原分式方程化为整式方程，再把x=2代入，即可求出m的值。
解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得
， ①
把x=2代入①，得，
解得。

例2.若关于x的方程有增根，求m的值。
分析：若原分式方程有增根，则增根只能是x=1或x=2，通过把x=1或x=2代入由原分式方程所化成的整式方程，即可求出m的值。
解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得
， ①
因为分式方程有增根，只能是x=1或x=2，
把x=1代入①，得；
把x=2代入①，得。
所以m的值为或。

例3.当m的取值满足什么条件时，关于x的方程不会产生增根？
分析：此题从反面进行考虑，可先求出分式方程产生增根时m的可能值，然后把这些可能值排除掉，即要求出分式方程不产生增根时m的值。
解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得
。 ①
若原分式方程产生增根，则增根一定是x=0或x=1。
把x=0代入①，得；
把x=1代入①，得；
所以当且时，原分式方程不会产生增根。

例4.当k为何值时，关于x的方程无解？
分析：原分式方程无解应包括两种情况：一是由原分式方程化成的整式方程无解；二是求出的整式方程的根都是原分式方程的增根。
解：原方程两边都乘以，整理得
。 ①
（1）要使①无解，所以；
（2）原分式方程可能会产生的增根是x=1或，
把x=1代入①，k无解；
把代入①，得。
所以当或时，原分式方程无解。