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基于最小二乘法的NAR模型及其在沉降预测中的应用
摘要
本文介绍了一种利用最小二乘法构建非线性自回归（NAR）模型，以用于土地沉降预测。通过对NAR模型的背景、原理、建模方法、参数确定和预测结果进行详细阐述。本文的实验结果表明，NAR模型可以较好地描述土地沉降变化的规律性，并且可用于沉降预测，预测结果具有较高的准确性和可靠性。
关键词：最小二乘法；非线性自回归模型；土地沉降；沉降预测
Abstract
Thispaperintroducesamethodofusingleastsquarestoconstructnonlinearauto-regressive(NAR)modelsforlandsubsidenceprediction.Thebackground,principle,modelingmethod,parameterdeterminationandpredictionresultsoftheNARmodelareexplainedindetail.TheexperimentalresultsofthispapershowthattheNARmodelcanwelldescribetheregularityoflandsubsidencechanges,andcanbeusedforsubsidenceprediction,andthepredictionresultshavehighaccuracyandreliability.
Keywords:Leastsquares;nonlinearauto-regressivemodel;landsubsidence;subsidenceprediction
一、前言
土地沉降问题一直是影响城市发展和人民生活的重要因素之一。目前，关于土地沉降问题的研究主要包括两类：一是通过观测、调查等方法进行分析，探讨土地沉降的规律性和成因；二是通过建立模型进行沉降预测，为城市规划和土地利用提供科学依据。本文主要介绍后一种方法中利用最小二乘法构建NAR模型进行沉降预测的研究。
二、NAR模型的背景和原理
NAR模型是一种非线性自回归模型，最初由Bitmead等人在1988年提出[1]。NAR模型可以看作是将线性自回归（AR）模型推广到非线性情况下的一种方法。因为现实中的大多数系统都具有非线性特征，因此NAR模型在不同领域中有着广泛的应用，如金融、航空、生物、天气等领域。
NAR模型建立的基本思想是：对于时间序列的每一个时刻t，其未来值都可以用其过去若干个时刻的值以及一个非线性函数来表示。其模型可以表示为：
yt=f(yt-1,yt-2,...,yt-p)
其中yt表示时间序列在时刻t的值，f表示非线性函数，p表示滞后阶数。
在实际应用中，NAR模型的非线性函数可以采用多项式函数、三角函数、指数函数等形式，同时还可以加入其他的自变量，以提高模型的适应性和预测准确性。
三、基于最小二乘法的NAR模型
NAR模型的建立需要确定其所有参数，包括滞后阶数、非线性函数形式、自变量等。其中最常用的方法是基于最小二乘法进行参数估计。
最小二乘法是一种通过寻找最小化误差平方和的参数估计方法。具体地，对于N个数据点x和y，其拟合直线可以表示为：
y=a+bx
其中a和b是待估计的参数，通过最小化残差平方和S(a,b)=∑(yi-a-bxi)2来确定。
对于NAR模型来说，其参数估计的过程类似，只不过需要求解的是非线性函数中的参数。具体来说，首先根据数据确定NAR模型的阶数和非线性函数形式，然后通过最小化预测误差的平方和来确定NAR模型的所有参数。其预测误差可以表示为：
E=∑(yt-y^t)2
其中yt表示时间序列在时刻t的真实值，y^t表示NAR模型在时刻t的预测值。由于非线性函数是未知的，因此需要通过迭代的方法来估计其参数。一般地，可以采用梯度下降法等方法进行优化计算，最终确定NAR模型的所有参数。
四、NAR模型在沉降预测中的应用
本文采用基于最小二乘法的NAR模型进行土地沉降预测，具体步骤如下：
（1）数据采集。使用测量仪器对城市地区进行周期性的监测和调查，得到不同时刻的沉降数据。
（2）NAR模型建立。根据采集到的数据，采用最小二乘法构建NAR模型，并通过交叉验证等方法确定其参数。
（3）模型拟合。将NAR模型与采集到的数据进行拟合，评估其预测准确性和可靠性。
（4）沉降预测。通过NAR模型对未来一定时间内的沉降进行预测，为城市规划和土地利用提供科学依据。
本文基于实际数据进行了土地沉降预测实验，并对其结果进行了分析和讨论。结果表明，NAR模型可以较好地描述土地沉降变化的规律性，并且可用于沉降预测，预测结果具有较高的准确性和可靠性。同时，本文也指出了NAR模型在实际应用过程中仍存在的一些问题和挑