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Gorenstein投射模的一些性质
在代数学中，Gorenstein投射模是一个非常重要的概念。在这篇论文中，我们将讨论关于Gorenstein投射模的一些性质和应用。
首先，我们来介绍Gorenstein投射模的定义。设R是一个局部环，M是一个有限生成的R模。我们称M为一个Gorenstein投射模，当且仅当M是一个有限生成的投射模，并且存在一个正整数n使得Ext^i_R(M,R)=0对于i≠n，而Ext^n_R(M,R)是一个R模同构于R的一个非零元素的左（右）正则表现。
定理1：如果R是一个局部完整交环，那么对于任意有限生成的R模M，M是一个Gorenstein投射模当且仅当M的射影维数等于其深度。
证明：首先，假设M是一个Gorenstein投射模，根据定义，M是一个有限生成的投射模，并且存在一个正整数n使得Ext^i_R(M,R)=0对于i≠n，而Ext^n_R(M,R)是一个R模同构于R的一个非零元素的左（右）正则表现。于是，我们可以得到：pd_R(M)≤n。
然而，记R/m为局部环R的剩余类域，则有：
depth_R(M)=inf{pd_R(R/mM)}
由于R是一个局部完整交环，所以R/m是一个域。因此，pd_R(R/mM)=pd_R(R/m)+pd_R(M)。因此，depth_R(M)=pd_R(M)+depth_R(R/m)≤n+0=n。于是，我们就证明了M的射影维数小于等于其深度。
另一方面，如果pd_R(M)≤depth_R(M)，则M是一个Gorenstein投射模。这部分的证明比较复杂，这里不再赘述。但这个定理的结论对于研究Gorenstein注射和投射模的关系非常有用。
定理2：一个有限生成的R模M是Gorenstein投射模当且仅当存在一个有限生成R模N和一个正整数n，使得M是N的直和因子，而Ext^i_R(N,R)=0对于i≠n-1，Ext^{n-1}_R(N,R)是一个R模同构于Hom_R(N,R)的一个非零元素的左（右）正则表现。
证明：如果M是Gorenstein投射模，则根据定义，M是一个有限生成的投射模，并且存在一个正整数n使得Ext^i_R(M,R)=0对于i≠n，而Ext^n_R(M,R)是一个R模同构于R的一个非零元素的左（右）正则表现。令N=Hom_R(M,R)，我们有：
Ext^i_R(N,R)=Ext^{i+n}_R(M,R)
于是，我们有Ext^i_R(N,R)=0对于i≠n-1，Ext^{n-1}_R(N,R)是一个R模同构于M的一个非零元素的左（右）正则表现。
另一方面，如果存在一个有限生成的R模N和一个正整数n，使得M是N的直和因子，而Ext^i_R(N,R)=0对于i≠n-1，Ext^{n-1}_R(N,R)是一个R模同构于Hom_R(N,R)的一个非零元素的左（右）正则表现，则可以构造一个Gorenstein投射模M'，使得M是M'的直和因子。证明比较复杂，这里不再赘述。
接下来，我们介绍Gorenstein投射模的一些应用。
应用1：一个有限生成的R模M是Gorenstein投射模当且仅当它的上同调在深度为dim(R)处消失。
证明：这个应用是一个非常有用的结论。首先，设M是一个Gorenstein投射模，则根据定义，M是一个有限生成的投射模，并且存在一个正整数n使得Ext^i_R(M,R)=0对于i≠n，而Ext^n_R(M,R)是一个R模同构于R的一个非零元素的左（右）正则表现。根据Auslander-Buchsbaum公式，我们有：
depth_R(M)+pd_R(M)=dim(R)
因此，pd_R(M)=dim(R)-depth_R(M)。也就是说，M的射影维数等于其与R的深度的差。考虑M的n-1上同调，我们有：
H^{n-1}(M)=Ext^{n-1}_R(M,R)=Hom_R(Ext^n_R(M,R),R)
由于Ext^n_R(M,R)是R的一个非零元素的左（右）正则表现，因此Hom_R(Ext^n_R(M,R),R)≠0。也就是说，H^{n-1}(M)不为0，所以上同调不会在深度为dim(R)处消失。
另一方面，如果H^{dim(R)}(M)=0，则M是Gorenstein投射模。这部分证明相对简单，而且对于许多证明有奇异性的问题是非常有用的。
应用2：一个有限生成的R模M是Gorenstein投射模当且仅当它的Hochschild同调群在深度为0的时候消失。
证明：这个应用是Gorenstein投射模的另一个有用的性质。首先，设M是一个Gorenstein投射模，则根据定义，M是一个有限生成的投射模，并且存在一个正整数n使得Ext^i_R(M,R)=0对于i≠n，而Ext^n_R(M,R)是一个R模同构于R的一个非零元素的左（右）正则表现。