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基于修正SPH方法时空分数阶对流扩散方程的数值研究的任务书
一、研究背景
在工程领域中，液体或气体传导现象的数值模拟是非常重要的，特别是在涉及流体动力学、热传递、化学反应等方面的设计和工程应用中。另一方面，由于在传输和定价模型框架中存在时空依赖性的各种现象，如金融市场变化、天气预测模型、流量占用分布模型和股价模型等，存在大量非局部扩散现象。为了解决这些问题，研究时空分数阶对流扩散方程的数值模拟方法具有极大的价值。
SPH方法(SmoothedParticleHydrodynamics)是一种模拟粒子之间相互作用的函数类方法，它克服了传统网格方法在处理流体边界上的困难，并适用于模拟流体与固体结构的耦合问题。通过将空间离散化为一组粒子，SPH模拟在空间和时间上的变化以及流体的状况变化，并通过对相邻粒子间的弹性化作用来识别和估计其物理特性。时间和空间的近似性质使其能够轻松应用于加热和冷却过程的物理建模，以及复杂流体交互的数值计算。因此，SPH方法已经成为预测流体动力学、结构力学和气体动力学等现象的重要工具。
另一方面，在将SPH方法应用于模拟非局部扩散过程时，需要考虑时空分数阶对流扩散方程的数值模拟。解决时间演化和空间分散性所引起的局部及非局部特性问题是必要的。时间分数阶导数可描述了高度非线性和非正则性过程的时变特性，而空间分数阶导数可描述非线性过程中扩散特性的长程发展。因此，在算法中考虑时空分数阶对流扩散方程的模拟适用于需要精确预测流动并考虑非局部特性的过程。
二、研究目的和任务
本研究旨在基于修正SPH方法，研究时空分数阶对流扩散方程的数值模拟方法，以解决如下问题：
1、建立时空分数阶对流扩散方程的数值计算模型，基于尺度分析推导模型所需的基本方程。
2、设计修正SPH方法的数值计算模型，应用于多维空间环境下时空分数阶对流扩散方程的数值模拟，并对这些方法进行若干的数值研究。
3、模拟常见的非局部扩散现象，分析相邻点之间的网络联络性质和最近邻点（NN）数据结构上的不同化效果。
4、评估修正SPH方法在时空分数阶对流扩散方程模拟中的优越性，包括其计算效率、计算精度和稳定性等方面。
5、将所得模拟结果与实际数据进行比对，并针对模型的适应性和扩展性开展模型的改进和完善。
任务分解：
任务1：建立时空分数阶对流扩散方程的数值计算模型，并基于尺度分析推导模型所需的基本方程。
任务2：设计修正SPH方法的数值计算模型，应用于多维空间环境下时空分数阶对流扩散方程的数值模拟。
任务3：模拟常见的非局部扩散现象，分析相邻点之间的网络联络性质和最近邻点（NN）数据结构上的不同化效果。
任务4：评估修正SPH方法在时空分数阶对流扩散方程模拟中的优越性，并对模型进行改进和完善。
任务5：将所得模拟结果与实际数据进行比对，并对模型的适应性和扩展性进行研究。
三、研究内容和方法
1、建立时空分数阶对流扩散方程的数值计算模型
基于尺度分析推导数值计算模型所需的基本方程。时空分数阶对流扩散方程的数值模拟，需要考虑时间和空间分数阶导数。本研究将会对其进行详细的介绍和分析，并建立所需的数学模型。同时，也将基于尺度分析来推导模型所需的基本方程，以建立正确而有效的数值方法。
2、设计修正SPH方法的数值计算模型
针对时空分数阶对流扩散方程的数值模拟，本研究将开发修正SPH方法，以适用于多维空间环境下时空分数阶对流扩散方程的数值模拟。所设计的模型将包括时间分数阶和空间分数阶的格拉姆扩散算子，并考虑传输方程中的多项式和指数项。
3、模拟常见的非局部扩散现象
本研究将通过模拟常见的非局部扩散现象，来分析相邻点之间的网络联络性质和最近邻点（NN）数据结构上的不同化效果，包括边界效应等。为了更好地解决这些问题，本研究将采用KS模型（Kuramoto-Sivashinsky模型）来模拟。
4、评估修正SPH方法的优越性并对模型进行改进和完善
本研究将综合考虑修正SPH方法的计算效率、计算精度和稳定性等方面，并进行模拟结果与实际数据的比对，来评估其在时空分数阶对流扩散方程模拟中的优越性。在此基础上，对所得的模型进行改进和完善，以提高模型适应性和扩展性。
5、研究意义
本研究的主要意义在于，通过分析和研究时空分数阶对流扩散方程的数值模拟，设计修正SPH方法的数值计算模型，以解决多维空间环境下时空分数阶对流扩散方程的数值模拟问题。在工程领域中，该研究成果可用于精确预测流动，并考虑非局部特性的过程。在金融市场、天气预测、流量占用分布、股价预测等领域，该研究的成果也具有重要价值，可用于建立更加准确的数值建模和预测模型。
四、研究完成时间和阶段性成果
1、建立时空分数阶对流扩散方程的数值计算模型，完成时间：第1～3个月。阶段性成果：推导出所需基本方程。
2、设计修正SPH方法的数值计算模型，应用