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最小二乘支持向量机算法研究及应用
摘要：
支持向量机（SVM）是一种成功应用于分类和回归的机器学习算法。其中最小二乘支持向量机（LS-SVM）是一种近年来比较流行的SVM算法变体。本文首先介绍了SVM的原理及其常见的模型形式，然后重点阐述了LS-SVM的原理和算法流程，并对其与传统SVM的差异进行了比较。最后，本文以实例应用的形式，探讨了LS-SVM在信号处理领域的应用，证明了其在实际应用中的优势和潜力。
关键词：支持向量机；最小二乘支持向量机；信号处理
一、引言
支持向量机（SVM）是一种重要的机器学习算法，由Vapnik和Cortes于1995年提出[1]。SVM通过将数据映射到高维空间中，在该空间中找到一个最优的超平面，从而实现样本的分类和回归。SVM具有许多优良的性质，如具有高维的泛化能力、在高维空间中不会出现“维数灾难”等。SVM的应用领域非常广泛，如图像分类、语音识别、生物信息学、金融预测等。
最小二乘支持向量机（LS-SVM）是一种SVM算法变体，由Suykens等人于1999年提出[2]。与传统的SVM相比，LS-SVM优点在于具有更高的计算效率、更好的数学性质和更好的泛化性能。目前，LS-SVM已成为一种非常流行的机器学习算法，为SVM在高维问题上的广泛应用提供了有效的解决方案。
本文的主要内容如下：首先介绍了SVM的原理及其常见的模型形式，然后详细阐述了LS-SVM的原理和算法流程，并对其与传统SVM的差异进行比较。最后，本文以实例应用的形式，探讨了LS-SVM在信号处理领域的应用，证明了其在实际应用中的优势和潜力。
二、SVM的原理及模型形式
SVM算法的基本思想是将样本映射到高维空间中，找到一个最优的超平面可以将正负样本分开。具体来说，为了处理二分类问题，我们将样本表示为{(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)},其中xi∈Rn，yi∈{-1,1}，i=1,2,...,n。SVM的目标是找到一个最优的超平面w^Tx+b=0，使得训练样本到超平面的距离最小（Margin），并在此基础上使得分类错误率最小。
在给定的n个样本{(xi,yi)}i=1,2,...,n，SVM的目标是找到一个最优参数w和b，使得目标函数最小：
minw∈H,b∈RC/2∑ni=1yi(w^Txib+bi−1)2+λ||w||2(1)
其中λ是正则化参数，||w||是w的L2范数。
SVM的对偶形式将上述最优化问题转化为一个求解求解如下的问题：
minα1⩾α2⩾······⩾αn>0L(α)=12∑i,jαiyiaj(xi⋅xj)+∑iαiyi(2)a.i=0
其中L(α)是关于α的一个二次比例函数，αi是一个非负的拉格朗日乘子，yi是第i个样本的类别，xi是第i个样本的特征向量。公式(2)中要求αi≥0，因此最优解满足yi(w^Tx+b)≥1，即最优超平面满足样本不在Margin内。
SVM的最常用的模型形式是线性模型和非线性模型。
线性SVM：
线性SVM是指SVM中的模型采用线性的分类函数如f(x)=w^Tx+b，它在高维空间常被用来处理线性可分的二分类问题。由于在高维空间中，数据很容易线性可分，因此线性SVM常常是一种很实用的模型。但是，在实际应用中，由于数据很难线性可分，因此往往需要使用非线性SVM。
非线性SVM：
非线性SVM则是采用核函数将样本转换到高维空间中，使得样本在该空间中可以线性可分。由于在高维空间中，数据很容易线性可分，因此非线性SVM可以很容易地处理非线性的二分类问题。
三、LS-SVM的原理和算法流程
LS-SVM是一种基于最小二乘法的SVM变体。与传统SVM不同，LS-SVM使用基于对偶问题的形式进行求解。由于使用最小二乘法，因此可以将SVM求解问题转化为一个标准的线性回归问题。
LS-SVM的目标是寻找一个函数f(x),使得所有的训练样本xi∈Rn(i=1,2,...,N)满足式子y=f(x)+ξ，其中ξ是噪声项。具体来说，LS-SVM需要求解的目标函数为：
minw,b,ε12ω(T−YG)b+ε(T−YG)2(3)
其中，T=(t1,t2,...,tN)T，Y=(y1,y2,...,yN)T，G为核矩阵，ω是权重向量。SVM的决策函数为f(x)=sign(w^Tx+b)，其中sign(·)表示符号(1或者-1)。如果将训练集中的样本看作已知数据，则本质上是一个线性回归问题，且误差项是平方误差。
在LS-SVM的求解中，核函数显得格外重要。常用的核函数有：线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
线性核函数：
K(Xi,Xj)=XiT·Xj(4)
多项式核函数：
K(Xi,Xj)=(XiT·Xj+c)d(5)
高斯核函数：
K(Xi,Xj)=exp(−γ∥Xi−Xj∥2)(6)