二重积分(习题).doc

第九章 二重积分

习题9-1

1、设，
其中；
又,
其中，
试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.
解：由于二重积分表示的立体关于坐标面及对称,且位于第一卦限部分与一致,因此。

2、利用二重积分的几何意义说明:
(1）当积分区域关于轴对称，为的奇函数，即时，有；
(2)当积分区域关于轴对称，为的偶函数，即时,有,其中为在的部分.
并由此计算下列积分的值，其中.
(I)；（II）;(III).
解：令，，其中为在的部分，
（1)由于关于轴对称,为的奇函数，那么表示的立体关于坐标面对称，且在的部分的体积为，在的部分的体积为，于是;
(2）由于关于轴对称,为的偶函数,那么表示的立体关于坐标面对称，且在的部分的体积为,在的部分的体积也为，于是.
(I)由于关于轴对称,且为的奇函数,
于是;
（II)由于关于轴对称，且为的奇函数，于是；
(III）由于关于轴对称，且为的奇函数,于是。

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
（1）与,其中是由轴、轴与直线所围成;
解：由于在内,,有,所以
。

(2)与,
其中.
解:由于在内,，有,,所以
。

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：
(1)，
其中；
解：由于的面积为，且在内，,那么
.

(2）,
其中；
解：由于的面积为,且在内,
,那么
。

（3），
其中；
解：由于的面积为，且在内，
,那么
.

习题9-2

1、计算下列二重积分：
(1),其中是矩形区域:；
解:
.

(2）,其中；
解：。
。

(3),其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；
解:.

(4），其中是顶点分别为和的三角形闭区域.
解:。

2、画出积分区域,并计算下列二重积分：
（1），其中是由两条抛物线所围成的闭区域;
解：.

(2）,其中是由直线及所围成的闭区域;
解：。

（3），其中是由及所围成的闭区域；
解：。

(4)，其中是由所确定的闭区域。
解：
。

a:=0。。1;
b：=x—1.。—x+1；
f:=exp(x+y）；
int（f,y=b）;
int(int(f,y=b)，x=a）;
simplify（"）;

3、如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积,即，积分区域，证明这个二重积分等于两个单积分的乘积，即
。
证明：

.

4、化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中积分区域是：
（1）由曲线、直线及轴所围成的闭区域；

图形>
plot([ln（x）,0,[[2，0］，[2，ln（2）]］］,x=0。。2,y=0..0。8，color=1);
解：.

(2）由轴及右半圆所围成的闭区域；
图形〉
plot（[(1—x^2)^(1/2）,-1＊(1-x^2）^（1/2）］,x=0..1，color=1)；

解：.

（3）由抛物线与直线所围成的闭区域.
图形>plot（[x^2,3—2＊x],x=-3。.1,color=1）;

解：.

5、改换下列二次积分的积分顺序：
（1)；

解：。

(2)；
解:.

(3）；

解：。

(4）；
解：.

（5)；
HYPERLINK..\.。\微积分习题解答zt。mws图形〉plot（[sin（x),-sin（x/2）,[［Pi，0］，[Pi,—1］］],x=0.。Pi,color=1）；
解：.

（6).
HYPERLINK..\..\微积分习题解答zt.mws图形>plot([(2*x—x^2）^(1/2），(2＊x）^（1/2),［［2，0］，[2,2］]],x=0。。2，color=1）;
解：
。

6、设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,它的面密度,求该改薄片的质量.
HYPERLINK。.\..\微积分习题解答zt。mws图形〉plot（[2-x,x],x=0。。2,y=0..1，color=1）；
解:
.

7、求由平面及所围成的立体的体积。
HYPERLINK。。\.。\微积分习题解答zt。mws图形>with（plots)：A：=plot3d（［x，y，1］,x=0.。1，y=0.。1-x）：
B：=plot3d([x,1-x,z］，x=0。。1，z=1..2）：F:=plot3d（［x，0,z］，x=0.。1，z=1.。1+x)：
G：=plot3d（［0，y，z］，y=0..1,z=1..1+y)：H:=plot3d(［x,y，1+x+y］,x=0.。1,y=0。。1—x):
display(｛A，B，F，G,H}，grid=[25,20]，axes=BOXED,
scaling=CONSTRAINED，style=PATCHCONTOUR）;
解：。

8、为修建高速