高三数学 平面向量基本定理及向量坐标表示复习(精品).ppt

§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示 (2)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对_______叫作向量a的坐标，记作a＝________，其中___叫作a在x轴上的坐标，__叫作a在y轴上的坐标．
②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是____的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为_______，反之亦成立．(O是坐标原点)2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘的运算(x2－x1，y2－y1)提示：不能，因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.1．(2009年高考广东卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C.∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．2．(2009年高考重庆卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()
A．－2B．0
C．1 D．2
答案：D答案：C答案：－2或11考点探究•挑战高考【答案】x≤0且0≤x＋y≤1
【规律小结】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则、三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．变式训练1利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【思路点拨】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算解答．【答案】2
【思维总结】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件．
2．向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题．(2010年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
【思路点拨】由向量平行的充要条件列出关于m的方程，然后求解．
【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，
∴m＝－1.【答案】m＝－1
【误区警示】解答本题过程中，易将方程列成(－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出错，导致此种错误的原因是：没有准确记忆两个向量平行的充要条件，将其与向量垂直的条件混淆．向量的坐标运算常在三角函数、解析几何等知识交汇点处命题，解答这类问题的关键是认真领会题中所给信息，并将所得的信息应用于题目中去，以解决实际问题．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标；
(3)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．【思路点拨】本题关键是找出“函数”v＝f(u)的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题．
【解】(1)∵a＝(1,1)，
∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．
又∵b＝(1,0)，
∴f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
∴f(ma＋nb)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，
nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．方法技巧
1．用向量解答几何问题的一般思路