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Hardy空间相关于拟微分算子的刻画的任务书
Hardy空间是复分析中的一个重要概念，它在很多问题中都具有重要的作用。Hardy空间主要与拟微分算子有关，在本文中我们将介绍Hardy空间的定义，性质以及与拟微分算子的刻画的任务。
一、Hardy空间的定义与性质
1.Hardy空间的定义
Hardy空间H(p)是指在单位圆周上解析的且具有p-可积的函数f(z)的集合。其中，p是一个实数，0<p≤+∞。当p=2时，Hardy空间就是Lebesgue空间L^2。
2.Hardy空间的性质
(1)Hardy空间是Banach空间。
(2)对于每个0<p≤+∞，H(p)是一个闭空间，即如果序列{fn}满足在H(p)中收敛于f，那么f也在H(p)中。
(3)近似恒等式：对于每个f∈H(p)，f可以用一列多项式来逐点逼近，即存在一列多项式{Pn}，使得|f(z)-Pn(z)|→0，其中n→∞，且z是单位圆上的点。
(4)内插定理：对于每个f∈H(p)，存在一列函数{fn}，使得fn的绝对值在条件p-平均意义下（即Lp范数）有限，并且fn在单位圆上一致收敛于f。
二、Hardy空间与拟微分算子
使用拟微分算子可以刻画Hardy空间的性质，并且可以确定Hardy空间的具体形式。
1.拟微分算子的定义
拟微分算子是指形如Df(z)=zf′(z)的一类算子。其中，f′(z)是f(z)的导数。
2.拟微分算子的基本性质
(1)拟微分算子是线性的。
(2)拟微分算子D是H(p)和H(p-1)的连续映射。
(3)拟微分算子的共轭算子是-D。
(4)对于f∈H(p)，Df(z)在单位圆上几乎处处等于f的共轭函数。(这里“几乎处处”是指除了圆上一组零测度的点之外，它在其他点都是成立的)
3.拟微分算子刻画Hardy空间的定理
现在，我们来介绍使用拟微分算子刻画Hardy空间的定理。
定理：一个函数f(z)在单位圆上是解析的当且仅当它可以写成Dg(z)的形式。其中，D是拟微分算子，g(z)是在单位圆上H(p-1)中的函数，且g在圆上几乎处处等于f的共轭函数。
证明：（充分性）如果f(z)在单位圆上是解析的，那么我们可以用Cauchy积分公式可以得到f(z)在z=0的泰勒展开式：
f(z)=∑c(j)z^j
现在令g(z)=∑c(j)/(j+1)z^(j+1)，我们有：
Dg(z)=zf′(z)=∑jc(j)z^j=f(z)(在圆上几乎处处成立)
这里，c(j)/(j+1)=c(j+1)，c(0)=0，在圆周上逐点收敛。因此，g(z)非常接近f(z)的共轭函数。那么，我们证得了充分性。
（必要性）如果f(z)=Dg(z)，那么
D(fg)=[Df]g+f[Dg]
由于f在圆周上解析，因此，[Df]g对圆周上的任意点z均为0，因此：
D(fg)=f(z)Dg(z)
现在，我们令h(z)=fg(z)，那么
Dh(z)=f(z)Dg(z)
那么，我们可以从中得到h(z)的解析性，同时可以得到fg的解析性。因此，我们证得了必要性。
结论：
使用拟微分算子的方式可以刻画Hardy空间的性质，同时具有各种相关的特征。Hardy空间与拟微分算子之间的关系在复分析中起着重要的作用，给出了一种全新的方式刻画Hardy空间的性质。