（中小学教案）高中数学选修本(理科)2.1数学归纳法及其应用举例（二）.doc

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2.1数学归纳法及其应用举例（二）
教学目的：
1.进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧.
2.掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力.
教学重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤
教学难点：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.
教具：多媒体、实物投影仪.
教学过程：
一、复习引入：
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般.
2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.
4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
二、讲解范例：
例1用数学归纳法证明
.
例2用数学归纳法证明

三、课堂练习：
1.用数学归纳法证明:
证明:(1)当,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当时,等式成立,就是
那么

这就是说,当时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何的都成立.
2.用数学归纳法证明
当时，左边应为_____________.
3.判断下列推证是否正确，并指出原因.
用数学归纳法证明：
证明：假设时，等式成立
就是成立
那么
=
这就是说当时等式成立，
所以时等式成立.
4.判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.

证明：①当n=1时，左边＝右边＝，等式成立.
②设n=k时，有
那么，当n=k+1时，有

即n=k+1时，命题成立.
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立.
四、小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假（必不可少）.“假设n=k时命题正确”并写出命题形式.
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
五、课后作业：
1.是否存在常数a、b、c使得等式
对一切自然数n都成立.并证明你的结论.
2.（８９年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式
1对一切自然数n都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10）
六、板书设计（略）
七、课后记：