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基于局部几何关系的降维方法研究及其在人脸识别中的应用
摘要：
降维是一种常见的数据预处理方法，它可将高维数据降至低维空间，以便于更好地进行数据的分析和处理。在本论文中，将介绍一种基于局部几何关系的降维方法，即局部线性嵌入（LocallyLinearEmbedding，LLE）以及它在人脸识别中的应用。LLE方法基于数据样本之间的局部线性关系，通过最小化全局误差来实现降维。实验结果表明，利用LLE进行降维后的数据可以更好地用于人脸识别，达到了很好的分类效果。
关键词：局部线性嵌入，降维，人脸识别
Overview：
Datadimensionalityreductionisacommonpre-processingapproachthatreducesthehigh-dimensionaldatatolow-dimensionalspace.Thisapproachhelpswithbetterdataanalysisandprocessing.Inthispaper,wepresentadimensionalityreductionmethodbasedonthelocalgeometricrelationship,i.e.LocallyLinearEmbedding(LLE),anditsapplicationinfacerecognition.LLEisbasedonthelocallinearrelationshipbetweendatasamples,whereglobalerrorisminimizedtoperformdimensionalityreduction.TheexperimentalresultsshowthatusingLLEtoreducethedatacanbebetterinfacerecognitionbyachievinggoodclassificationperformance.
Keywords:LocallyLinearEmbedding,dimensionalityreduction,facerecognition
介绍
随着现代科技的不断发展，数据收集以及数据分析的需求不断增加。而对于高维数据来说，为了便于更好地展示和分析数据，降维的过程必不可少。降维是将高维数据投射到低维空间的过程，它可以将数据看作是在低维空间中的曲线或者曲面，在这个空间中的距离可以更好地代表数据间的相似性。在机器学习、图像处理、自然语言处理等领域，降维是一个常见的数据预处理方法。而对于人脸识别这类问题而言，降维可以将高维人脸图像转化为低维特征向量，从而提高识别的准确率。
针对这种要求，本文介绍了一种基于局部几何关系的降维方法，即局部线性嵌入（LocallyLinearEmbedding，LLE）以及其在人脸识别中的应用。LLE方法基于数据样本之间的局部线性关系，通过最小化全局误差来实现数据降维。LLE方法在降维后也可以保留数据的拓扑结构，因此可以有效地应用于数据挖掘和模式识别方面。在本文中，我们将重点介绍LLE方法的理论基础以及应用于人脸识别问题的实验结果。
局部线性嵌入（LLE）方法
LLE方法是一种非线性降维方法，它建立在保持数据流形结构的前提下。具体地，它主要是将每个数据点重新表示为其邻域内的线性组合，然后利用这些线性组合来定义降维后的数据点的坐标。
LLE方法的基本思路是：对于给定的数据集，假设数据样本的维度为d，现在我们需要将其降到k维空间，其中k<d。在LLE方法中，假设有m个样本，第i个样本的向量表示为xi。对于任意的一个样本xi，LLE算法将寻找该样本在低维空间中的表达来实现降维并保留数据的拓扑结构。
具体实现过程如下：
1）首先，对于给定的一个样本xi，它的k个最近邻样本（包括自己）被选出来构成一个邻域集合Ni，其中k是人为设定的参数，通常比较小，比如取值为5；
2）其次，对于每个样本xi，LLE将找到一个线性组合来描述它。具体来说，假设向量系数为wi，那么向量xi可以被表示为与它在Ni中k个最近邻样本之间线性组合的和：
xi=sumij(wij*xj)
这里i和j都是在Ni中的样本索引。向量系数wi被限制在满足下面条件的约束下：sumj(wij)=1。（这个约束条件确保xi不会被简单地复制或缩放，并限制wi的解是唯一的）
3）最后，通过最小化一个全局误差来计算在低维空间中的坐标。这个误差用xi在它的邻域集合Ni中的线性组合重建与其本身的距离来表示，即误差E为：
E=sumi(xi-sumj(wij*xj))^2
在LLE算法中，为了确保一些数值误差的问题，公式中又加了一个惩罚项以减少wi的解的振荡，可以表示为：
E’=sumi(xi-sumj(wij*xj))^2+lambda*sumj(w