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基于分数阶微积分的PEMFC建模与控制方法研究
摘要：
本文介绍了基于分数阶微积分的质子交换膜燃料电池（PEMFC）建模与控制方法的研究。首先，分析了PEMFC系统的动态特性及其影响因素，通过分数阶微积分方法建立了质子交换膜燃料电池系统的数学模型，并将其等价转化为常微分方程的形式。然后，采用滑模控制方法设计了一个高效稳定的质子交换膜燃料电池控制器。最后，通过仿真实验验证了所提出方法的有效性和优越性。
关键词：分数阶微积分，质子交换膜燃料电池，建模，控制，滑模控制
1.引言
质子交换膜燃料电池（PEMFC）是目前最具有发展潜力的清洁能源之一，已经在交通运输、储能、电网稳定等领域得到广泛的应用。然而，由于其非线性、强耦合、难以测量和参数难以确定等特点，使得PEMFC的建模与控制成为一个具有挑战性的研究领域。传统控制方法难以满足PEMFC系统的精度、鲁棒性、响应速度和稳定性要求。
分数阶微积分作为一种新颖的工具，具有良好的数学性质和广泛的应用前景。它可以将PEMFC的非线性和时滞性描述得更加准确，提高控制器的性能和鲁棒性。因此，本文将基于分数阶微积分的方法对PEMFC进行建模和控制，以提高其控制性能和响应速度。
2.PEMFC的建模
2.1PEMFC系统的动态特性
PEMFC系统的动态特性受到多种因素的影响，包括质子交换膜的渗透、催化层反应、燃料耗散等。这些因素共同影响了PEMFC系统的响应速度、稳定性和能量效率。
2.2基于分数阶微积分的PEMFC数学模型
根据电化学理论和质量守恒原理，可以建立PEMFC的数学模型。考虑到PEMFC动态特性的复杂性，本文采用了分数阶微积分的方法来描述其动态响应。
首先，考虑燃料质子传输过程的动态特性，可以得到它的分数阶微分方程表示。设燃料离子的浓度分布函数为C(x,t)，则其动态方程为：
DαtC(x,t)=-δC(x,t)+S(x,t)
其中，Dαt表示Caputo分数阶微分算子，0<α<1，δ表示扩散系数，S(x,t)表示燃料的扩散源。
接下来，考虑质子传输过程的动态特性，可以得到它的分数阶微分方程表示。设质子浓度分布函数为H(x,t)，则其动态方程为：
DαtH(x,t)=-κ(C(x,t))-λ(C(x,t)-H(x,t))
其中，κ表示燃料到质子反应的转化率，λ表示质子的扩散速率。
最后，通过构建水分平衡方程和电路方程，可以建立PEMFC系统的总体数学模型，其中所得到的微分方程是非线性的和带有时滞的，不能直接用于控制器设计，需要等价转化为常微分方程形式。
3.PEMFC的控制
3.1滑模控制器设计
由于PEMFC的非线性和时滞性较强，传统的控制方法很难实现性能的要求。本文采用滑模控制器来设计PEMFC的控制系统，以获得更好的性能和鲁棒性。滑模控制器可以将控制量在具有界限的滑模面上滑动，从而保证系统的稳定和精度。
首先，设计一个控制器的表达式：
u(t)=Kpδ(t)+Ki∫t0δ(t)dt+Kd∂tδ(t)
其中，Kp、Ki、Kd分别为比例、积分、微分系数，δ(t)为误差信号。然后，将控制器加在系统的输出端，得到一个带有控制器的系统方程：
y(t)=f(t,y(t))+h(t)u(t)+w(t)
其中，y(t)表示系统的输出，f(t,y(t))表示系统的动态模型，h(t)表示控制器的增益，w(t)表示外部扰动。
接下来，采用滑模面控制法构建滑模面方程：
S(t)=y(t)-r(t)-h(t)u(t)
其中，r(t)为系统的期望输出，也称为参考输出。根据滑模控制的原理，控制器的任务是满足S(t)=0，并使S(t)以最快的速度趋近于0。因此，对滑模面方程求时间导数得到：
∂tS(t)=f(t,y(t))-f(t,r(t))-h(t)u(t)-h(t)∂r(t)∂t
为了使滑模面方程快速收敛到0，令u(t)可以快速响应并使得滑动模式S(t)的上界为一个无限大值b，如果u(t)将τ时间内滑动面从s容器区域滑动到-s容器区域则称滑动区间为τ.经过简化运算可以得到u(t)的控制器表达式：
u(t)=-(Kp1*sgn(S(t))+Kd1*Sα(t))当S(t)>=s时：
u(t)=-(Kp2*sgn(S(t))+Kd2*Sα(t))当S(t)<=-s时：
3.2仿真实验
为验证所提出方法的有效性和优越性，进行了一系列的仿真实验。工作条件是：燃料电池功率为1.16kW，质子交换膜的厚度为25μm，电极表面积为72cm2。
实验结果表明，采用基于分数阶微积分的方法建模可较好地反映PEMFC动态响应的特点；而采用滑模控制方法能够使得系统在稳态和动态变化过程中达到更快的响应速度和更好的鲁棒性。
4.结论
本文提出了基于分数阶微积分的方法对PEMFC进行建模和控制，以提高其控制性能和响应速度。通过仿真实验验证