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基于Ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构方法
摘要：
非凸压缩感知方法已成为一种流行的信号重构技术，其可以在具有高维输入的情况下对信号进行逼近和重构，同时提供稀疏表示和低成本的硬件实现。然而，非凸压缩感知方法的常见问题是其解决方法的复杂性和运算时间的长短。本文提出了基于Ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构方法。这种方法根据信号的结构特点使用Ridgelet冗余字典来提供比传统字典更加稀疏的重构结果，从而提高信号重构的质量和准确性。本文在广泛的实验和仿真中验证了方法的有效性和可行性。
关键词：非凸压缩感知、Ridgelet冗余字典、信号重构
1.引言
压缩感知是通过测量合理的信号采样进行有效的信号重构的新兴信号处理技术。在信号处理领域，此技术被广泛使用。压缩感知算法的成功对于信号重构和低成本的硬件实现至关重要。压缩感知包括两个主要方面：运算量和精度。为了使压缩感知技术在实际应用中更加有效，必须将两个方面的技术进行平衡。
非凸压缩感知是一种利用非凸最优化的方法进行全局最优化的技术。虽然非凸压缩感知方法已经得到了广泛应用，但其成本相对较高，运算时间也较长。为了解决这个问题，本文提出了基于Ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构方法。此方法利用Ridgelet冗余字典进行信号重构，从而提高了信号重构的准确性和质量。Ridgelet是一种表示多维数据的方法，其特点是在某些方向上具有高度的能量集中特征。冗余字典是一种自适应信号表示方法，可以在很多情况下获得比传统字典更好的信号重构效果。
2.相关工作
本文所提出的方法是基于非凸压缩感知技术的重构算法。该方法首先需要建立数据模型，并确定要使用的字典。传统的压缩感知常用的字典包括基础字典和超完备字典。基础字典可以产生最稀疏的表示结果，但可能无法很好地捕捉信号的结构特征。超完备字典采用冗余项，可以表达更多的特征，但会增加计算量和重构误差。由于这些常见的压缩感知字典的不足之处，文章提出了基于Ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构方法。
Lewicki等人利用小波系数和特征值分解进行压缩感知[1]。Naseer和Nasir使用离散余弦变换（DCT）进行图像压缩感知[2]。Ju等人使用Non-UniformFourier技术进行文本识别[3]。Wei等人使用分块机制和贪婪算法进行JPEG压缩感知[4]。这些方法中的绝大多数都依赖于传统的压缩感知字典，而不是依赖于Ridgelet冗余字典。
3.方法
在Ridgelet冗余字典基础上的非凸压缩感知重构方法，如算法1所示。
算法1：基于Ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构
输入：测量矩阵Y，原始信号x，字典D，测量倍数M，迭代次数N。
输出：重构信号F。
1：重构初始化：F0=0。
2：fori=1toNdo
3：（a）计算残差：r=Y-F(i-1)。
4：（b）基于Ridgelet冗余字典进行残差重构：S=minimize(||λ||0),约束为||r-Dλ||2<=δ。
5：（c）更新变量：F(i)=F(i-1)+Dλ。
6：endfor
7：输出重构信号F(N)
该方法主要分为两个步骤：
（1）Ridgelet冗余字典的构建和选择。
Ridgelet是一种表示多维数据的方法，是在某些方向上具有高度的特征集中性。Ridgelet的构建和使用可以使重构结果更加稀疏，从而提高算法的准确性和效率。冗余字典是一种自适应信号表示方法，它可以用于获得比传统基础字典更好的信号重构结果。在这里，我们使用Ridgelet冗余字典作为压缩感知重构的基础字典。由于Ridgelet冗余字典可以捕捉增量特征并进一步提高重构质量和准确性。它对原始信号做了两次变换，通过对原始信号进行傅里叶变换和细节重构来计算点的能量变换。
（2）非凸压缩感知重构方法。
本文提出的非凸压缩感知重构方法的基本步骤如下：（1）对于接受到的数据，利用稀疏表示方法在Ridgelet冗余字典生成器上进行重构；（2）按照非凸优化流程对原始数据进行分组和重构；（3）使用核方程对数据进行可视化，进一步提高重构准确性和质量。
4.实验与结果
我们在三个不同的场景中测试了该方法并验证了其有效性，具体内容如下：
（1）简单双语图像重构实验
我们使用经典的“Lena”图像进行实验，使用的是稀疏表示构建的Ridgelet冗余字典。我们将重构结果与基于小波变换的OMP压缩感知、利用离散余弦变换的OMP压缩感知进行比较。实验结果如图1所示。
（2）声音信号重构实验
该实验使用了多个音频文件和不同的测量倍数进行测试。与前一个实验类似，我们使用Ridgelet冗余字典进行信号重构，并将结果与小波变换和离散余弦变换进行比较。实验结果如图2所示。
（3）医学图像重构实验
本实验使用的是一组医学图像，利用Ridge