加权Hardy空间上解析Toeplitz算子乘积的可逆性和Fredholm性.docx

加权Hardy空间上解析Toeplitz算子乘积的可逆性和Fredholm性
加权Hardy空间是一类函数空间，由加权函数和Hardy空间组合而成。Hardy空间是解析函数论的一个重要研究对象，而Toeplitz算子是解析函数论中的一个常见算子。本文将讨论加权Hardy空间上解析Toeplitz算子乘积的可逆性和Fredholm性质。
首先，我们来介绍加权Hardy空间。给定域上的单位圆盘D，考虑平方可积函数集合L²(D)，内积定义为：
⟨f,g⟩=∬Df(z)g(z)dA(z)
其中f和g是D上的L²函数，dA(z)是复平面中的Lebesgue测度。加权函数φ是指一个非负可测函数，满足
∫D|φ(z)f(z)|²dA(z)<∞
对于满足上述条件的加权函数φ，加权Hardy空间H²ₚ(D)定义为：
H²ₚ(D)={f∈L²(D)|∫D|f(z)|²|φ(z)|²dA(z)<∞}
加权Hardy空间上的范数定义为：
||f||ₚ=∫D|f(z)|²|φ(z)|²dA(z)
接下来我们来定义Toeplitz算子。给定一个加权Hardy空间H²ₚ(D)上的函数f，对于固定的复数α，Toeplitz算子Tₐ将f映射为：
Tₐ(f)=Pₐf
其中Pₐ是复平面上的平均投影算子，定义为：
Pₐf(z)=α∫Df(αz)h(z)dA(z)
其中h是单位圆上的L²函数。Toeplitz算子是解析函数论中一个非常重要的算子，因为它可以保持解析性。
接下来我们将讨论加权Hardy空间上解析Toeplitz算子乘积的可逆性。首先，我们先讨论Toeplitz算子的可逆性。对于两个非零常数α₁和α₂，如果Pₐ是可逆的，那么对于任意的f∈H²ₚ(D)，都存在唯一的g₁和g₂，使得：
Pₐ(g₁)=f
Pₐ(g₂)=0
其中g₁和g₂是H²ₚ(D)中的函数。进一步地，如果Pₐ是可逆的，那么存在一个唯一的函数Gₐ：D→D，使得：
Pₐ(f)=f(Gₐ(z))
其中f∈H²ₚ(D)。因此，Toeplitz算子Pₐ是可逆的当且仅当Pₐ(f)≠0对于所有f≠0成立。
接下来我们来讨论解析Toeplitz算子的乘积。对于两个解析Toeplitz算子Pₐ₁和Pₐ₂，它们的乘积定义为：
Pₐ₁₂(f)=Pₐ₁(Pₐ₂(f))
其中f∈H²ₚ(D)。可以证明，对于任意的解析Toeplitz算子Pₐ₁和Pₐ₂，它们的乘积Pₐ₁₂是一个解析函数。这是因为Toeplitz算子保持解析性质。因此，可以将解析Toeplitz算子的乘积看作是两个解析Toeplitz算子的复合。
现在我们将讨论解析Toeplitz算子乘积的可逆性。对于两个解析Toeplitz算子Pₐ₁和Pₐ₂，我们假设它们的乘积Pₐ₁₂是可逆的。那么对于任意的f∈H²ₚ(D)，存在唯一的g₁₂，使得：
Pₐ₁₂(g₁₂)=f
进一步地，我们可以将这个方程展开为：
Pₐ₁(Pₐ₂(g₁₂))=f
由于Pₐ₁和Pₐ₂都是可逆的，我们可以得到：
Pₐ₂(g₁₂)=Pₐ₂(h)
其中h=Pₐ₁(g₁₂)。因此，我们可以得到对于任意的f∈H²ₚ(D)，存在唯一的g₂，使得：
Pₐ₂(g₂)=f
这说明解析Toeplitz算子Pₐ₂是可逆的。同理，我们还可以证明解析Toeplitz算子Pₐ₁也是可逆的。因此，解析Toeplitz算子乘积的可逆性和两个解析Toeplitz算子的可逆性是等价的。
最后，我们讨论解析Toeplitz算子乘积的Fredholm性质。对于两个解析Toeplitz算子Pₐ₁和Pₐ₂，我们定义其乘积的指数：
index(Pₐ₁₂)=dim(ker(Pₐ₁₂))-dim(coker(Pₐ₁₂))
其中ker(Pₐ₁₂)表示Pₐ₁₂的核空间，coker(Pₐ₁₂)表示Pₐ₁₂的余核空间。Fredholm性质是指解析Toeplitz算子乘积的指数是有限的。如果index(Pₐ₁₂)是有限的，那么解析Toeplitz算子乘积是一个Fredholm算子。
总结起来，本文讨论了加权Hardy空间上解析Toeplitz算子乘积的可逆性和Fredholm性质。我们证明了两个解析Toeplitz算子的乘积是一个解析函数，并且解析Toeplitz算子乘积的可逆性和两个解析Toeplitz算子的可逆性是等价的。最后，我们定义了解析Toeplitz算子乘积的指数，并讨论了其Fredholm性质。
以上是对加权Hardy空间上解析Toeplitz算子乘积的可逆性和Fredholm性质的讨论，希望能对解析函数论的研究有所启发和帮助。